minimalpolynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 So 20.05.2007 | | Autor: | martin |
| Aufgabe | | Sei m das Minimalpolynom bezüglich eines Endomorphismus [mm] \alpha [/mm] und V endlichdimensionaler vom 0-Raum vrschiedener Vektorraum. Sei grad [mm] m(\alpha)=dimV. [/mm] Man zeige, dass V [mm] \alpha-zyklisch. [/mm] |
Hallo zusammen,
wenn der Grad des Minimalpolynoms gerade der Anzahl der Basisvektoren entspricht, lässt sich theoretisch ja um jeden der lin. unabhängigen Eigenwerte ein Eigenraum erstellen, der die Dimension 1 hat, dann wäre V auch zyklisch, jedoch kann ich ja eigentlich keine Vielfachheiten der (x-a)-Eigenwertpolynome ausschließen, so dass ich nicht direkt auf die Dimension schließen kann, ich stehe also vor einem Rätsel,
wäre wirklich nett, wenn mir jemand da mal helfen könnte,
vg martin
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> Sei m das Minimalpolynom bezüglich eines Endomorphismus
> [mm]\alpha[/mm] und V endlichdimensionaler vom 0-Raum vrschiedener
> Vektorraum. Sei grad [mm]m(\alpha)=dimV.[/mm] Man zeige, dass V
> [mm]\alpha-zyklisch.[/mm]
Hallo,
das habe ich mir zunächst einfacher vorgestellt, als es wohl ist...
Ich hab's nicht bis in alle Einzelheiten durchdacht, aber so in die Richtung könnte es gehen - als grobes Gerüst.
Betrachte die Primärzerlegung des Minimalpolynoms [mm] m_{\alpha}=\produkt p_i^{n_i}.
[/mm]
Dann ist [mm] V=\bigoplus [/mm] Kern [mm] p_i^{n_i}.
[/mm]
Betrachte die Einschränkungen [mm] \alpha_i [/mm] der Funktion [mm] \alpha [/mm] auf [mm] V_i:=Kern p_i^{n_i}.
[/mm]
Es ist [mm] m_{\alpha_i}=p_i^{n_i}.
[/mm]
Man zeigt, daß es ein [mm] x_i \in V_i [/mm] gibt mit dim [mm] [/mm] =grad [mm] m_{\alpha_i}.
[/mm]
Die [mm] [/mm] sind Unterräume der [mm] V_i.
[/mm]
Nun betrachtet man [mm] x:=\summe x_i,
[/mm]
und zeigt mithilfe von Dimensions- und Gradüberlegungen, daß [mm] V= [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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