minimalpolynom < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:45 Fr 25.04.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
ich habe folgende frage zu dieser aufgabe:
finden sie die minimalpolynome dieser matrix:
[mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 }
[/mm]
als erstes habe ich das charakeristische polynom berechnet,und zwar habe ich da [mm] :x^3-4*x^2+5*x-2=(x-2)*(x-1)^2 [/mm] heraus.ich haoffe das stimmt soweit aber wie macht man nun weiter?einfach die matrix A in das charakteristische polynom für x einsetzen?wenn ja wieso?ich hoffe jemand kann mir helfen.danke schon mal.
viele grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 Fr 25.04.2008 | | Autor: | statler |
Hallo!
> ich habe folgende frage zu dieser aufgabe:
> finden sie die minimalpolynome dieser matrix:
> [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 }[/mm]
> als
> erstes habe ich das charakeristische polynom berechnet,und
> zwar habe ich da [mm]:x^3-4*x^2+5*x-2=(x-2)*(x-1)^2[/mm] heraus.ich
> haoffe das stimmt soweit aber wie macht man nun
> weiter?einfach die matrix A in das charakteristische
> polynom für x einsetzen?
Wenn du dich nirgends verrechnet hast, ergibt das 0. Eine Matrix erfüllt ihre charakteristische Gleichung. (Satz von Cayley-Hamilton)
Damit hast du aber noch nicht unbedingt das Minimalpolynom. Es könnte ja noch ein Polynom niedrigeren Grades geben, was es auch tut. Das MP teilt das charakteristische Polynom, ist aber nicht unbedingt irreduzibel. Umgekehrt teilt das charakteristische Polynom eine Potenz des MPs. Jetzt müßtest du dich mal auf die Suche nach dem MP machen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Fr 25.04.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
danke für deine antwort also ich habe es probiert,es kommt für [mm] (x-2)*(x-1)^2 [/mm] null heraus und für (x-2)*(x-1)=0,für [mm] (x-1)\not=0 [/mm] und [mm] (x-2)^2\not= [/mm] 0.heißt das dann dass das minimalpolynom (x-2)*(x-1) ist?
danke und grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Fr 25.04.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Heißt das dann dass das
> minimalpolynom (x-2)*(x-1) ist?
Genau das heißt es.
Ciao
Dieter
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