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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Sa 24.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | | 2. Bestimmen Sie das Minimalpolynom eines Jordan-Blocks [mm] J_{k}(c). [/mm] |
Hey, ich bahe bis jetzt leider nur sehr flüchtig verstanden was das minimalpolynom ist und was es macht.
Ich weiß, dass ich das Minimalpolynom eines Jordanblocks bestimmen soll. also einer matrix der gestalt [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & ... & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & ... & ... & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & ... & ... & ... & 0}.
[/mm]
weiter weiß ich das k die größe des jordanblocks angibt und das das Minimalpolynom höchstens den grad 1 haben darf, sowie das c die nullstelle ist.
Wie mache ich an dieser stelle weiter? Bringt es mir was am Kern rumzubasteln?
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Hallo maxi85,
> 2. Bestimmen Sie das Minimalpolynom eines Jordan-Blocks
> [mm]J_{k}(c).[/mm]
> Hey, ich bahe bis jetzt leider nur sehr flüchtig
> verstanden was das minimalpolynom ist und was es macht.
>
> Ich weiß, dass ich das Minimalpolynom eines Jordanblocks
> bestimmen soll. also einer matrix der gestalt [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & ... & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & ... & ... & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & ... & ... & ... & 0}.[/mm]
>
> weiter weiß ich das k die größe des jordanblocks angibt und
> das das Minimalpolynom höchstens den grad 1 haben darf,
> sowie das c die nullstelle ist.
Das Minimalpolynom ist ein ein Teiler des charakteristischen Polynoms und kann deshalb auch einen Grad größer 1 annehmen.
>
> Wie mache ich an dieser stelle weiter? Bringt es mir was
> am Kern rumzubasteln?
Die obige Matrix, ich nenne sie mal T, ist nilpotent, d.h.
[mm]T^{0}=I, \ T^{1} \not=0, \ \dots \, \ T^{k-1} \not= 0, \ T^{k}=0[/mm]
, wobei dann k der Nilpotenzgrad von T ist.
Dieser Nilpotenzgrad k gibt an, wie groß der größe Jordanblock zum Eigenwert, hier 0, ist.
Da die Einsen nur in der Nebendiagonale auftauchen, gibt es bei einer nxn-Matrix obiger Bauart, nur n-1 Einsen.
Und jetzt bilde mal sämtliche Potenzen dieser Matrix T.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Sa 24.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
Hallo Mathepower,
> Die obige Matrix, ich nenne sie mal T, ist nilpotent, d.h.
>
> [mm]T^{0}=I, \ T^{1} \not=0, \ \dots \, \ T^{k-1} \not= 0, \ T^{k}=0[/mm]
>
> , wobei dann k der Nilpotenzgrad von T ist.
>
> Dieser Nilpotenzgrad k gibt an, wie groß der größe
> Jordanblock zum Eigenwert, hier 0, ist.
>
> Da die Einsen nur in der Nebendiagonale auftauchen, gibt es
> bei einer nxn-Matrix obiger Bauart, nur n-1 Einsen.
>
> Und jetzt bilde mal sämtliche Potenzen dieser Matrix T.
>
> Gruß
> MathePower
[mm] T^1 [/mm] ist ja meine ausgansmatrix.
[mm] t^2 [/mm] müsste meines erachtens nach dann eine nxn matrix sein in der überall null steht außer in der 2ten nebendiagonalen. das heißt das ich nach n-1 mal multiplizieren auf die Nullmatrix komme.
Hab das mal mit ner 4x4 matrix gerechnet.
wenn ich das richtig begriffen habe heißt das das ich mir die größe des größten jordanblocks nehme also k und mit k-1 rauskriege wann ich auf die null komme.
Nur leider habe ich immernoch nich begriffen was das mit dem Minimalpolinom zu tun hat ...
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Hallo maxi85,
> Hallo Mathepower,
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> > Die obige Matrix, ich nenne sie mal T, ist nilpotent, d.h.
> >
> > [mm]T^{0}=I, \ T^{1} \not=0, \ \dots \, \ T^{k-1} \not= 0, \ T^{k}=0[/mm]
>
> >
> > , wobei dann k der Nilpotenzgrad von T ist.
> >
> > Dieser Nilpotenzgrad k gibt an, wie groß der größe
> > Jordanblock zum Eigenwert, hier 0, ist.
> >
> > Da die Einsen nur in der Nebendiagonale auftauchen, gibt es
> > bei einer nxn-Matrix obiger Bauart, nur n-1 Einsen.
> >
> > Und jetzt bilde mal sämtliche Potenzen dieser Matrix T.
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> [mm]T^1[/mm] ist ja meine ausgansmatrix.
> [mm]t^2[/mm] müsste meines erachtens nach dann eine nxn matrix sein
> in der überall null steht außer in der 2ten
> nebendiagonalen. das heißt das ich nach n-1 mal
> multiplizieren auf die Nullmatrix komme.
>
> Hab das mal mit ner 4x4 matrix gerechnet.
>
> wenn ich das richtig begriffen habe heißt das das ich mir
> die größe des größten jordanblocks nehme also k und mit k-1
> rauskriege wann ich auf die null komme.
>
> Nur leider habe ich imn mernoch nich begriffen was das mit
> dem Minimalpolinom zu tun hat ...
Diese Größe des größten Jordanblocks zum Eigenwert, hier 0, tritt auch als Exponent im Minimalpolynom auf.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 So 25.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
ok ich versuch mal weiter zu kommen:
$ [mm] x_{f}(T)=\produkt_{i=1}^{k} (T-\lambda_{i})^{V_{i}} [/mm] $
ist das charakteristische polynom.
da nilpotenz herscht wird [mm] \lambda [/mm] schonmal null.
also:
$ [mm] x_{f}(T)=\produkt_{i=1}^{k} (T)^{V_{i}} [/mm] $
über potenzregeln kann ich dann ja noch zu
[mm] x_{f}(T)=(T)^{\summe(V_{i})} [/mm] umformen.
> Dieser Nilpotenzgrad k gibt an, wie groß der größe
> Jordanblock zum Eigenwert, hier 0, ist.
heißt das mein minimalpolinom sieht so aus?
[mm] x_{f}(T)=(T)^{k}
[/mm]
Ich weiß es klingt komisch aber ich hab echt kaum begriffen was das minimalpolynom macht, wie es aussieht oder wofür se gut ist...
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Hallo maxi85,
> ok ich versuch mal weiter zu kommen:
>
> [mm]x_{f}(T)=\produkt_{i=1}^{k} (T-\lambda_{i})^{V_{i}}[/mm]
>
> ist das charakteristische polynom.
> da nilpotenz herscht wird [mm]\lambda[/mm] schonmal null.
> also:
>
> [mm]x_{f}(T)=\produkt_{i=1}^{k} (T)^{V_{i}}[/mm]
>
> über potenzregeln kann ich dann ja noch zu
>
> [mm]x_{f}(T)=(T)^{\summe(V_{i})}[/mm] umformen.
>
> > Dieser Nilpotenzgrad k gibt an, wie groß der größe
> > Jordanblock zum Eigenwert, hier 0, ist.
>
> heißt das mein minimalpolinom sieht so aus?
>
> [mm]x_{f}(T)=(T)^{k}[/mm]
>
Ja.
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> Ich weiß es klingt komisch aber ich hab echt kaum begriffen
> was das minimalpolynom macht, wie es aussieht oder wofür se
> gut ist...
Das Minimalpolynom ist in erster Linie ein Teiler des charakteristischen Polynoms
Das Minimalpolynom ist das kleinste Polynom für welches [mm]p\left(A\right)=0[/mm] ergibt. p ist hierbei ein Teiler vom charakterischen Polynom.
Laut ![[]](/images/popup.gif) JNF-Kochrezept geben die Exponenten [mm]k_{i}[/mm] von [mm]\left(x-\lambda_{i}\right)^{k_{i}}[/mm] im Minimalpolynom, die Länge des größten Kästchen zum Eigenwert [mm]\lambda_{i}[/mm] an.
Gruß
MathePower
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