mohrsche spannungskreis < Maschinenbau < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | http://www-docs.tu-cottbus.de/mechanik/public/pdf/TM1-Pruefungen/tm1-p1010.pdf |
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guten tag an alle,
meine frage geht an die aufgabe 7 in der oberen prüfung.
ich weiß, wie man den spannungskreis zeichnet und daraus sigma 1 und 2 abliest (könnte man die beiden werte auch rechnerisch ermitteln??). jedoch weiß ich nicht, wie man den winkel bestimmt. mit abmessen bekommt man zwar auch das ergebnis, aber rechnerisch sollte es ja auch klappen.
dafür existiert ja die formel:
( 2 * [mm] tau_x [/mm] ) / ( [mm] sigma_x [/mm] - [mm] sigma_y)
[/mm]
vielen dank.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 29.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:58 Sa 14.04.2012 | | Autor: | sn0opy22 |
- Zunächst alle Normalspannungen [mm] \sigma [/mm] (Zug und Druck) in x und y - Richtung ermitteln:
[mm] T_{x} [/mm] = - 25 MPa (Druckspannung auf die Platte) [Konvention: Druckspannung ist immer negativ aufzutragen]
[mm] T_{y} [/mm] = 0 MPa
- Dann die Schubspannungen [mm] \tau [/mm] ermitteln (Scherung) in x - y Richtung:
Es gilt: [mm] T_{xy} [/mm] = [mm] T_{yx}
[/mm]
[mm] T_{xy} [/mm] = + 15 MPa
- Dann die Normalspannung auf der Achse [mm] \sigma [/mm] auftragen:
[mm] T_{x} [/mm] = [25,0]
[mm] T_{y} [/mm] = [0,0]
Also ein Punkt bei 25 (x-Achse) und 0 (y-Achse) und ein Punkt bei (0,0).
- Dann wird die Schubspannung vorzeichenrichtig über [mm] T_{y} [/mm] aufgetragen und mit umgedrehten Vorzeichen über [mm] T_{x} [/mm] [Das ist immer so]
Also einmal ein Punkt bei 0 (x-Achse) und +15 (y-Achse). Dann ein Punkt bei 25 (x-Achse) und -15 (y-Achse)
Beide Punkte heißen [mm] T_{xy}
[/mm]
- Nun zieht man eine Linie zwischen den beiden Punkten [mm] T_{xy}, [/mm] der Schnittpunkt der Linie mit der x-Achse ist [mm] T_{m} [/mm] die mittlere Spannung
- Der eingeschlossene Winkel bei [mm] T_{m} [/mm] zwischen der Verbindungslinie und der x-Achse entspricht dem doppelten Drehwinkel, also [mm] 2*\phi [/mm]
- Nun zeichnest du einen Kreis zwischen den Punkten [mm] T_{xy} [/mm] mit dem Mittelpunkt [mm] T_{m} [/mm]
So sollte es dann aussehen:
![[]](/images/popup.gif) http://s1.directupload.net/file/d/2860/r4xbtcyy_jpg.htm#
Im Mohrschen Spannungskreis zählen alle Winkel doppelt, daher ist [mm] \phi [/mm] = 25° (abzulesen in der Zeichnung sind 50°).
[mm] \overline{\phi} [/mm] ist der Winkel zwischen der x-Achse und [mm] +\sigma_{max} [/mm] (1. Hauptspannung). Dieser ist in der Zeichnung 90° also ist das Ergebnis 45°. [mm] (-\sigma_{max} [/mm] ist übrigens die zweite Hauptspannung.
Die Hauptspannungen kann man zeichnerisch ablesen aber auch berechnen:
[mm] +\sigma_{max} [/mm] = [mm] \sigma_{1} [/mm] = [mm] 1/2*(T_{x}+T{y})+1/2*\wurzel{(T_{x}-T{y})^2+4*T_{xy}^2}
[/mm]
[mm] -\sigma_{max} [/mm] = [mm] \sigma_{2} [/mm] = [mm] 1/2*(T_{x}+T{y})-1/2*\wurzel{(T_{x}-T{y})^2+4*T_{xy}^2}
[/mm]
Mit [mm] T_{y} [/mm] = 0 ergeben sich hiermit für [mm] \sigma_{1} \cong [/mm] 32 MPa und [mm] \sigma_{2} \cong [/mm] -7 MPa
Die maximale Schubspannung +/- [mm] \tau_{max} [/mm] ergibt sich aus:
+/- [mm] \tau_{max} [/mm] = 1/2 [mm] *(+\sigma_{max}-(-\sigma_{max}))
[/mm]
=> 1/2*(32-(-7)) = [mm] \underline{19,5 MPa}
[/mm]
[mm] \phi [/mm] berechnet sich zu:
[mm] \phi [/mm] = 1/2 * [mm] arctan((2*T_{xy})/(T_{x}-T_{y})) [/mm]
=> 1/2 * tan^-1*((2*15)/25) [mm] \cong \underline{25 Grad}
[/mm]
wobei allgemein gilt:
für [mm] T_{x} [/mm] = [mm] T_{y} [/mm] gilt die Singularität der Tangensfunktion, zu:
[mm] \limes_{\alpha\rightarrow 90Grad} [/mm] tan [mm] \alpha [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
Damit ergibt sich: [mm] \phi_{0} [/mm] = 1/2 * [mm] arctan(x/\infty) [/mm] = 45°
Zu beachten ist das Winkel im Spannungskreis immer doppelt so groß sind wie die Ausrichtung des Bauteils oder die Krafteinleitung in Realität. Das ergibt sich aus der Definition der mathematischen Geometrie des Kreises.
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