multiplikative Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Di 17.01.2006 | | Autor: | JokerX |
| Aufgabe | Wie viele erzeugende Elemente $x [mm] \in \IF_{1009}^{\*}$ [/mm] besitzt die multiplikative Gruppe des Körpers [mm] $(\IF_{1009},+,*)~mit~\IF_{1009}= \IZ [/mm] / 1009 [mm] \IZ$?
[/mm]
Begründen Sie bitte Ihre Antwort genau. |
Ich habe diese Aufgabe zu bearbeiten. Leider habe ich keinen Plan wie ich diese Aufgabe lösen soll. Ich finde nicht mal einen Ansatz zur Lösung. Ich hoffe, einer von euch kann mir einen Ansatz geben, der mir zur Lösung verhilft.
Grüsse,
JokerX
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Di 17.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Machen wir es doch gleich allgemeiner:
Ist $p$ eine Primzahl, dann gibt es [mm] $\Phi(p-1)$ [/mm] erzeugende Elemente der multiplikativen Gruppe von [mm] $\IZ_p$.
[/mm]
Beweis:
Die multiplikative Gruppe [mm] $\IZ_p^{\star}$ [/mm] von [mm] $\IZ_p$ [/mm] ist zyklisch und enthält $p-1$ Elemente; sei $a$ ein Erzeugendes und $b [mm] \in \IZ_p^{\star}$ [/mm] beliebig gewählt. Dann gibt es ein $i [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $b=a^i$. [/mm] Es folgt:
$ord(b) = [mm] ord(a^i) [/mm] = [mm] \frac{p-1}{ggT(p-1,i)}$,
[/mm]
also gilt: $ord(b)=p-1$ genau dann, wenn $ggT(p-1,i)=1$ gilt.
Liebe Grüße
Julius
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