n-te Ableitung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Di 19.02.2008 | | Autor: | koko |
Hallo nochmals,
hätte da noch eine frage, es ist die funktion [mm] f(x)=\left \bruch{5x}{2+x^3} \right [/mm] in eine Taylorreihe um x=0 zu entwickeln, da komm ich dann auf:
[mm] \bruch{5}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(1/2)^n*x^{3n+1}
[/mm]
und meiner meinung nach stimmt diese auch!!!
weiters ist aber noch die 31. Ableitung und die 32. Ableitung von f(0) gesucht, jedoch hab ich hierzu keinen Ansatz und komme nicht weiter.
Was ist hier genau gemeint und wie kann man dieen Wert an den jeweiligen Ableitungen bestimmem?
Würde mich freuen wenn ihr mir behilflich sein könntet.
Wie immer Danke im Voraus
mfg koko
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Di 19.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo koko!
> Hallo nochmals,
>
> hätte da noch eine frage, es ist die funktion [mm]f(x)=\left \bruch{5x}{2+x^3} \right[/mm]
> in eine Taylorreihe um x=0 zu entwickeln, da komm ich dann
> auf:
>
> [mm]\bruch{5}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(1/2)^n*x^{3n+1}[/mm]
>
> und meiner meinung nach stimmt diese auch!!!
Fast. Das ist die Taylorreihe von [mm] $\bruch{5x}{2-x^3} [/mm] $. Korrekt wäre:
[mm]\bruch{5}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(\red{-}1/2)^n*x^{3n+1}[/mm]
> weiters ist aber noch die 31. Ableitung und die 32.
> Ableitung von f(0) gesucht, jedoch hab ich hierzu keinen
> Ansatz und komme nicht weiter.
Nimm die Taylorreihe: da gibt es doch einen Zusammenhang zwischen den Ableitungen von f und den einzelnen Gliedern der Reihe.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Di 19.02.2008 | | Autor: | koko |
Hallo rainer,
zuerst mal danke für deine antwort......
ja hast recht mit dem -1, habs übersehen, danke für den hinweis.
aber ich weis nicht welchen zusammenhang du meinst.....ich hab das skriptum von der uni vor mir, aber ich komm nicht drauf......könntest du mir das vielleicht genauer erläutern?...das würde mir enorm helfen.....
danke
mfg koko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Di 19.02.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> aber ich weis nicht welchen zusammenhang du meinst.....ich
> hab das skriptum von der uni vor mir, aber ich komm nicht
> drauf......könntest du mir das vielleicht genauer
> erläutern?...das würde mir enorm helfen.....
schau mal wo bei einer ![[]](/images/popup.gif) Taylor-Reihe die $n$-te ableitung [mm] $f^{(n)}(a)$ [/mm] im entwicklungspunkt $a$ (hier $a = 0$) auftritt.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Di 19.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo nochmals
danke für eure tipps, aber irgendwie komm ich nicht drauf....also entweder bin ich schon zu müde oder einfach nicht geeigent für diese taylorreihen........
naja was solls.....aber trotzdem danke an euch
lg koko
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Hallo!
Jetzt nicht aufgeben, denn das ist nicht sonderlich schwer!
Ne Taylorreihe sieht doch allgemein so aus:
[mm] f(x)=f(x_0)+\frac{1}{1!}f'(x_0)*x+\frac{1}{2!}f''(x_0)*x^2+\frac{1}{3!}f'''(x_0)*x^3+...
[/mm]
Das kann man auch als Summe schreiben:
[mm] f(x)=\sum_n \red{\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)}*x^n
[/mm]
Beachte, das (n) bedeutet n-te Ableitung!
Wenn man eine konkrete Taylorreihe bestimmt, heißt das, daß man für den roten Teil in der Formel einen bestimmten Ausdruck einsetzt. Und das hast du ja schon gemacht! Dein Term mit de Summenzeichen ist mit meinem identisch - für diese eine Funktion f(x) und diesen einen Entwicklungspunkt [mm] x_0
[/mm]
Wie lautet denn das Glied mit n=30 in deiner Formel, und in meiner allgemeinen oben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Di 19.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo event horizont,
ich hab noch gesehen dass du eine antwort geschrieben hast....eigentlich wollt ich ja für heute aufgeben....
aber trotz deines wahrscheinlich sehr guten hinweises hab ich probleme damit.....welches n soll ich 30 setzten.....und anschließend mit deiner vergleichen? da komm ich nicht mit.....könntest du vielleicht den rechenweg posten, falls es dir nicht viel mühe macht....denn ich glaube, es wäre echt nicht so schwer....aber wahrscheinlich hab ich genau hier einen hänger....
wäre sehr nett, vielleicht kann ich dann das auch nachvollziehen....
danke
mfg koko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Mi 20.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> aber trotz deines wahrscheinlich sehr guten hinweises hab
> ich probleme damit.....welches n soll ich 30
> setzten.....und anschließend mit deiner vergleichen? da
> komm ich nicht mit.....könntest du vielleicht den rechenweg
> posten, falls es dir nicht viel mühe macht....denn ich
> glaube, es wäre echt nicht so schwer....aber wahrscheinlich
> hab ich genau hier einen hänger....
An irgendiner Stelle der Reihe steht die 30. Potenz von x, also ein Term der Form
$ [mm] c_{30} x^{30} [/mm] $
Da es eine Taylorreihe ist, ist [mm] $c_{30}= \bruch{1}{30!} f^{(30)}(0) [/mm] $.
Jetzt musst du nur noch durch Anstarren deiner Reihenentwicklung [mm] $c_{30}$ [/mm] und [mm] $c_{31}$ [/mm] bestimmen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Mi 20.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo,
ja ok, bis hierher verstanden......etwas lang gebraucht aber verstanden.............aber eine doch für mich dringende frage hätte ich noch.....warum die 30 und die 31 potenz, ich hatte ja zuvor-ganz am anfang schon geschrieben, gesucht sind die 31. und 32 ableitung bzw. deren werte?
außerdem.....ich hab ja das problem, dass wenn ich n=30 setze.....für die potenz von x 94 rausbekomme......ich check das irgendwie echt nicht......weil diese müssten sich ja eigentlich kürzen............daher kann ich da c durch Anstarren ja nicht bestimmen????
ich möchte hier mich auch dafür entschuldigen dass vielleicht diese fragen von mir etwas dumm aussehen, aber ich habs irgendwie nicht ganz verstanden.....sorry
und vielen dank für eure mühe
mfg koko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Mi 20.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hallo,
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> ja ok, bis hierher verstanden......etwas lang gebraucht
> aber verstanden.............aber eine doch für mich
> dringende frage hätte ich noch.....warum die 30 und die 31
> potenz, ich hatte ja zuvor-ganz am anfang schon
> geschrieben, gesucht sind die 31. und 32 ableitung bzw.
> deren werte?
Ja, sorry, ich meinte die 31. und 32. Potenz.
> außerdem.....ich hab ja das problem, dass wenn ich n=30
> setze.....für die potenz von x 94 rausbekomme......ich
> check das irgendwie echt nicht......weil diese müssten sich
> ja eigentlich kürzen............daher kann ich da c durch
> Anstarren ja nicht bestimmen????
n=30 ist offensichtlich nicht der richtige Term. Für welches n hast du denn [mm] $x^{31}$ [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Mi 20.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo...
also ich hab ja [mm] \bruch{5}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(1/2)^n*x^{3n+1}
[/mm]
und du meinst ich muss die 31. bzw die 32 potenz der potenzreihe hernehmen, in unserem fall ne taylorreihe, also $ [mm] c_{31} x^{31} [/mm] $ mit $ [mm] c_{31}= \bruch{1}{31!} f^{(31)}(0) [/mm] $
nun hab ich aber das problem wenn ich bei meinem term [mm] \bruch{5}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(1/2)^n*x^{3n+1} [/mm] für n=31 einsetze nie und nimmer auf die 31. Ableitung komme......oder hab ich da was falsch verstanden???
mfg koko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mi 20.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> nun hab ich aber das problem wenn ich bei meinem term
> [mm]\bruch{5}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(1/2)^n*x^{3n+1}[/mm] für n=31
> einsetze nie und nimmer auf die 31. Ableitung
> komme......oder hab ich da was falsch verstanden???
Nochmal: für welches n hast du einen Term mit [mm] $x^{31}$?
[/mm]
Oder du schreibst dir die ersten 15 Terme der Reihen einfach hin.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mi 20.02.2008 | | Autor: | koko |
ja hallo....
danke für die antwort
meinst du vielleicht mit n=10, denn dann hätte ich ja einen term mit der hochzahl 31???
aber wie mache ich dann die 32. Ableitung......exiestiert diese überhaupt?
mfg koko
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Hallo koko!
> meinst du vielleicht mit n=10, denn dann hätte ich ja einen
> term mit der hochzahl 31???
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Yep!
> aber wie mache ich dann die 32. Ableitung......exiestiert
> diese überhaupt?
Wie muss denn der Koeffzient [mm] $a_{32}*x^{32}$ [/mm] lauten, damit [mm] $x^{32}$ [/mm] gerade nicht in der Reihe auftritt?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Mi 20.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo...
ok danke für die antwort,
das würde ja dann bedeuten das der koeffizient gleich null sein müsste.....soweit so gut, aber wie kommst du drauf, dass du sagen kannst, wie müsste der koeffizient [mm] a_k [/mm] lauten damit [mm] x^{32} [/mm] nicht in der reihe auftritt?
warum soll dieser nicht auftreten und x^31 schon.....was steckt dahinter?
danke im voraus
mfg koko
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Hallo koko!
Nimm doch mal Rainer's Vorschlag auf und schreibe Dir die ersten Glieder Deiner Taylor-Reihe auf. Welche Potenzen von $x_$ treten überhaupt auf und welche nicht?
Die Potenzen von $x_$ , welche nicht auftreten, müssen damit den Koeffizient [mm] $a_k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{f^{(k)}(0)}{k!} [/mm] \ = \ 0$ haben.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mi 20.02.2008 | | Autor: | koko |
okey dankeschön,
bin dm vorschlag von euch beiden gefolgt....und habe die ersten 10 glieder aufgeschrieben.....und siehe da, es treten nur ungerade potenzen von x auf, also [mm] x-x^3-x^5-x^7-x^9.....das [/mm] würde ja dann bedeuten dass die x^32 nicht existiert----demnach kann man auch den wert der 32. ableitung nicht berechnen oder?
und kann man das allgemein sagen, dass wenn einen funktion gerade (ungerade) ist, so nur gerade (ungerade) glieder des taylorpolynoms auftreten?
das wäre dann wohl meine letzte frage zu diesem thread....hoffe habe euch nicht zu sehr genervt...
mfg koko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mi 20.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es heisst nicht, dass sie nicht existiert, sondern dass sie 0 ist!
und Ja, gerade fkt nur gerade Taylorglieder.
Gruss leduart
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Hallo koko!
Wie hast Du denn die einzelnen Summanden berechnet? Ich erhalte:
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{5x}{2+x^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}\left(-\bruch{1}{2}\right)^n*x^{3n+1}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{5}{2}*\left[\left(-\bruch{1}{2}\right)^0*x^{3*0+1}+\left(-\bruch{1}{2}\right)^1*x^{3*1+1}+\left(-\bruch{1}{2}\right)^2*x^{3*2+1}+\left(-\bruch{1}{2}\right)^3*x^{3*3+1}+...\right]$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{5}{2}*\left[1*x^1-\bruch{1}{2}*x^4+\bruch{1}{4}*x^7-\bruch{1}{8}*x^{10}+...\right]$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{5}{2}*x-\bruch{5}{4}*x^4+\bruch{5}{8}*x^7-\bruch{5}{16}*x^{10}+...$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Mi 20.02.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo koko!
Wie man auch schnell durch $f(-x) \ [mm] \not= [/mm] \ -f(x)$ zeigen kann, ist die obige Funktion auch nicht ungerade (sprich: punktsymmetrisch zum Ursprung).
Damit treten wie soeben gezeigt gerade und ungerade Potenzen von $x_$ in der Taylor-Reihe auf.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Mi 20.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo nochmals...
alles klar, nun doch nach langem herumexperementieren ist es mir klar geworden.....ich denke ich hab den dreh jetzt raus
ich möchte hier all jenen die mir geholfen haben danken!!! also danke an rainerS, andreas, Event_Horizon, Roadrunner, leduart und natürlich ganz allgemein dem Team von matheforum!
lg koko
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