n-te Ableitung mit Leibniz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, irgendwie kriege ich das mit der n-ten Ableitung mit der Leibnizregel nicht hin. Ich poste mal ein Bsp.,vielleicht kann es ja jemand mal erklären.
[mm] (f*g)^{n}(x)=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*f^{k}(x)*g^{n-k}(x)
[/mm]
Berechnen Sie die n-te Ableitung von [mm] h(x)=(x-1)^{2}e^{-x}.
[/mm]
sei [mm] f(x)=(x-1)^{2} [/mm] und [mm] g(x)=e^{-x}
[/mm]
[mm] h^{n}(x)=(x-1)^2*e^{-x}-2n(x-1)*e^{-x}+n(n-1)*e^{-x}=e^{-x}*(x^2 [/mm] - 2(n+1)x + n(n+1) + 1)
so hier versteh ich irgendwie nicht, wie das gemacht wurde, ist wahrscheinlich nur einsetzen in die formel, aber ich komm damit nicht zurecht. vor allem kann ich die formal gar nicht anwenden, mit der summe um dem [mm] \vektor{n \\ k}.
[/mm]
vielleicht findet sich ja wer.
danke im voraus.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:52 Mi 26.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo, irgendwie kriege ich das mit der n-ten Ableitung mit
> der Leibnizregel nicht hin. Ich poste mal ein
> Bsp.,vielleicht kann es ja jemand mal erklären.
>
> [mm](f*g)^{n}(x)=\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ k}*f^{k}(x)*g^{n-k}(x)[/mm]
>
> Berechnen Sie die n-te Ableitung von [mm]h(x)=(x-1)^{2}e^{-x}.[/mm]
>
> sei [mm]f(x)=(x-1)^{2}[/mm] und [mm]g(x)=e^{-x}[/mm]
>
> [mm]h^{n}(x)=(x-1)^2*e^{-x}-2n(x-1)*e^{-x}+n(n-1)*e^{-x}=e^{-x}*(x^2[/mm]
> - 2(n+1)x + n(n+1) + 1)
>
> so hier versteh ich irgendwie nicht, wie das gemacht wurde,
> ist wahrscheinlich nur einsetzen in die formel,
So sehe ich das. Nach der von dir zitierten Formel (noch nie gehört - wieder was gelernt) gilt
[mm] h^{n}(x)=
[/mm]
[mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] * (erste Ableitung von [mm] (x+1)^2) [/mm] * ((n-1)-te Ableitung von [mm] e^{-x})
[/mm]
+ [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] * (zweite Ableitung von [mm] (x+1)^2) [/mm] * ((n-2)-te Ableitung von [mm] e^{-x})
[/mm]
Eigentlich ginge es jetzt weiter mit
+ [mm] \vektor{n \\ 3} [/mm] * (dritte Ableitung von [mm] (x+1)^2) [/mm] * ... ,
aber die dritte Ableitung von [mm] (x+1)^2 [/mm] ist bereits Null.
Zu beachten ist hier nur, dass die k-te Ableitung von [mm] e^{-x} [/mm] entweder [mm] e^{-x} [/mm] oder [mm] -e^{-x} [/mm] ist, je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist.
Das kann man aber mit [mm] (-1)^k*e^{-x} [/mm] ausdrücken.
Viele Grüße
Abakus
> aber ich
> komm damit nicht zurecht. vor allem kann ich die formal gar
> nicht anwenden, mit der summe um dem [mm]\vektor{n \\ k}.[/mm]
>
> vielleicht findet sich ja wer.
>
> danke im voraus.
>
> gruß
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:27 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Kreide |
ich hab das noch nicht verstanden, die lösung soll ja angeblich
> [mm]h^{n}(x)=(x-1)^2*e^{-x}-2n(x-1)*e^{-x}+n(n-1)*e^{-x}=e^{-x}*(x^2[/mm]
> > - 2(n+1)x + n(n+1) + 1)
sein. Aber das stimmt doch nicht mit dem überein, was abakus gesagt hat,
[mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] kann man doch nicht so leicht durch ne zahl ersetzen...
nach abakus bekäme ich
> [mm]h^{n}(x)=[/mm]
> [mm]\vektor{n \\ 1}[/mm] * [mm] 2(x-1)*-e^{-x}
[/mm]
> + [mm]\vektor{n \\ 2}[/mm] * [mm] \bruch{2}{x-1}e^{-x}^ [/mm] *
aber ich sehe noch nicht ganz, dass
[mm] h^{n}(x)=[/mm]
[/mm]
[mm]\vektor{n \\ 1}[/mm] * [mm] 2(x-1)*-e^{-x}
[/mm]
> + [mm]\vektor{n \\ 2}[/mm] * [mm] /bruch{2}{x-1}e^{-x}^ [/mm]
[mm] =(x-1)^2*e^{-x}-2n(x-1)*e^{-x}+n(n-1)*e^{-x}=e^{-x}*(x^2[/mm] [/mm]
> > - 2(n+1)x + n(n+1) + 1)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Mi 26.03.2008 | | Autor: | abakus |
> ich hab das noch nicht verstanden, die lösung soll ja
> angeblich
>
>
> >
> [mm]h^{n}(x)=(x-1)^2*e^{-x}-2n(x-1)*e^{-x}+n(n-1)*e^{-x}=e^{-x}*(x^2[/mm]
> > > - 2(n+1)x + n(n+1) + 1)
>
>
> sein. Aber das stimmt doch nicht mit dem überein, was
> abakus gesagt hat,
>
> [mm]\vektor{n \\ 1}[/mm] kann man doch nicht so leicht durch ne zahl
> ersetzen...
Hallo?
Es ist [mm]\vektor{n \\ 1}[/mm][mm] =\bruch{n!}{(n-1)!*1!}=n [/mm] und
[mm]\vektor{n \\ 2}[/mm][mm] =\bruch{n!}{(n-2)!*2!}=\bruch{n(n-1)}{2}.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> nach abakus bekäme ich
>
> > [mm]h^{n}(x)=[/mm]
> > [mm]\vektor{n \\ 1}[/mm] * [mm]2(x-1)*-e^{-x}[/mm]
> > + [mm]\vektor{n \\ 2}[/mm] * [mm]\bruch{2}{x-1}e^{-x}^[/mm] *
>
> aber ich sehe noch nicht ganz, dass
>
> [mm]h^{n}(x)=[/mm][/mm]
> [mm]\vektor{n \\ 1}[/mm] * [mm]2(x-1)*-e^{-x}[/mm]
> > + [mm]\vektor{n \\ 2}[/mm] * [mm]/bruch{2}{x-1}e^{-x}^[/mm]
> [mm]=(x-1)^2*e^{-x}-2n(x-1)*e^{-x}+n(n-1)*e^{-x}=e^{-x}*(x^2[/mm][/mm]
> > > - 2(n+1)x + n(n+1) + 1)
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:46 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Kreide |
oh ja...hab vergessen, dass man so kürzen kann! danke!
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:51 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Kreide |
> [mm]h^{n}(x)=(x-1)^2*e^{-x}-2n(x-1)*e^{-x}+n(n-1)*e^{-x}=e^{-x}*(x^2[/mm]
> > > > - 2(n+1)x + n(n+1) + 1)
hab noch ne kurze frage, der index beim summenzeichen fängt erst bei i=1 an, aber bei dieser lösung von jaruleking stammt [mm] "(x-1)^2*e^{-x}" [/mm] davon, wenn man i=0 einsetzt. Darf man das dann überhaupt?
kann es sein, dass die lösung von jaruleking nicht ganz stimmt? oder denke ich flasch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:53 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Kreide |
hab noch mal bei wikipedia nach geschaut, da geht die leibnizformel von i=0 los, war bestimmt nen tippfehler von jaruleking....
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hi. danke erstmal für die antwort. aber ganz komme ich da leider troztdem noch nicht hinterher.
du sagst ja: $ [mm] h^{n}(x)= [/mm] $
$ [mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] $ * (erste Ableitung von $ [mm] (x+1)^2) [/mm] $ * ((n-1)-te Ableitung von $ [mm] e^{-x}) [/mm] $
+ $ [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] $ * (zweite Ableitung von $ [mm] (x+1)^2) [/mm] $ * ((n-2)-te Ableitung von $ [mm] e^{-x}) [/mm] $
Eigentlich ginge es jetzt weiter mit
+ $ [mm] \vektor{n \\ 3} [/mm] $ * (dritte Ableitung von $ [mm] (x+1)^2) [/mm] $ * ...
ich da trotzdem irgendwie leider noch nicht erkennen, wie [mm] h^{n}(x)=(x-1)^2\cdot{}e^{-x}-2n(x-1)\cdot{}e^{-x}+n(n-1)\cdot{}e^{-x} [/mm] zu stande kommt. komisch.
[mm] (x-1)^2\cdot{}e^{-x} [/mm] das ja wohl für [mm] \vektor{n \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] für die erste ableitung, das wäre ja für [mm] (x-1)^2 [/mm] = 2(x-1) aber wie kommt man bei der (n-1)-te Ableitung von [mm] e^{-x} [/mm] auf [mm] -ne^{-x} [/mm]
danke
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Hallo!
Die n-te Ableitung von [mm] e^{-x} [/mm] ist [mm] (-1)^{n}e^{-x} [/mm] . Dann ist die (n-1)-te Ableitung [mm] (-1)^{n-1}e^{-x}=-(-1)^{n}e^{-x}
[/mm]
Beim Ableiten kommt da kein n als Faktor rein, nur als Exponent, um das Vorzeichen zu bestimmen.
Diese Vorzeichengeschichte fehlt in deiner Musterloesung.
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