n-te Einheitswurzeln < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 So 27.11.2011 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | | Finden Sie alle Lösungen der Gleichung [mm] z^{3}-1=0 [/mm] und [mm] z^{3}+1=0 [/mm] |
Hallo,
laut Skript sollte das Ganze mit der Formel:
[mm] w_{k} [/mm] = [mm] e^{i\bruch{2\pik}{n}}
[/mm]
berechnet werden.
Wenn ich jetzt aber 0 für k einsetzen will komm ich auf 1 aber laut Lösung soll da 2 rauskommen
[mm] w_{0} [/mm] = [mm] e^{i\bruch{2\pi0}{3}}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
übersehe ich mal wieder irgendwas ?
edit: hab gerade bemerkt, dass in den Lösungen [mm] z_{0}=2 [/mm] steht nicht [mm] w_{0}=2. w_{0} [/mm] ist ja nur eine Einheitswurzel. D.h ich weiß zwar jetzt wie man die Einheitswurzeln von [mm] z^{n} [/mm] bestimmt, aber um alle Lösungen von [mm] z^{n} [/mm] zu bekommen muss man alle n-ten Einheitswurzeln mit [mm] z_{0} [/mm] multiplizieren, leider finde ich keine Definition wie ich [mm] z_{0} [/mm] bestimmen kann.
edit2: [mm] z_{k} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{r_{0}}e^{i\bruch{\phi_{0}+2\pik}{n}}
[/mm]
also für [mm] z_{0} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{r_{0}}e^{i\bruch{\phi_{0}+2\pi0}{3}}
[/mm]
Nun weiß ich aber nicht, wie ich den Betrag [mm] r_{0} [/mm] und das Argument [mm] \phi_{0} [/mm] bestimmen kann.
PS.: die [mm] \phi_{0} [/mm] 's sollen eigentlich kleine Phis sein
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Hallo Infoandi, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da stimmt etwas nicht, und zwar offenbar an der Aufgabe.
> Finden Sie alle Lösungen der Gleichung [mm]z^{3}-1=0[/mm] und
> [mm]z^{3}+1=0[/mm]
>
> laut Skript sollte das Ganze mit der Formel:
>
> [mm]w_{k}[/mm] = [mm]e^{i\bruch{2\pik}{n}}[/mm]
>
> berechnet werden.
Komisch, dass das falsch angezeigt wird. Du hast es m.E. richtig eingegeben. Ich probiers mal minimal anders, klick auf die Formel, um die Eingabe zu sehen:
[mm] w_k=e^{i\bruch{2\pi k}{n}}
[/mm]
> Wenn ich jetzt aber 0 für k einsetzen will komm ich auf 1
> aber laut Lösung soll da 2 rauskommen
Wie gesagt - entweder die Aufgabe oder die Lösung stimmen nicht.
2 löst doch keine der beiden Gleichungen. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> [mm]w_{0}[/mm] = [mm]e^{i\bruch{2\pi0}{3}}[/mm]
>
> übersehe ich mal wieder irgendwas ?
>
> edit: hab gerade bemerkt, dass in den Lösungen [mm]z_{0}=2[/mm]
> steht nicht [mm]w_{0}=2. w_{0}[/mm] ist ja nur eine Einheitswurzel.
> D.h ich weiß zwar jetzt wie man die Einheitswurzeln von
> [mm]z^{n}[/mm] bestimmt, aber um alle Lösungen von [mm]z^{n}[/mm] zu
> bekommen muss man alle n-ten Einheitswurzeln mit [mm]z_{0}[/mm]
> multiplizieren, leider finde ich keine Definition wie ich
> [mm]z_{0}[/mm] bestimmen kann.
>
> edit2: [mm]z_{k}[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{r_{0}}e^{i\bruch{\phi_{0}+2\pik}{n}}[/mm]
>
> also für [mm]z_{0}[/mm] =
> [mm]\wurzel[3]{r_{0}}e^{i\bruch{\phi_{0}+2\pi0}{3}}[/mm]
>
> Nun weiß ich aber nicht, wie ich den Betrag [mm]r_{0}[/mm] und das
> Argument [mm]\phi_{0}[/mm] bestimmen kann.
[mm] r_0 [/mm] ist doch einfach - schau Dir mal den Betrag der beteiligten Zahlen an...
Das Argument ist nicht wesentlich komplizierter. Kennst Du die  Moivre-Formel?
> PS.: die [mm]\phi_{0}[/mm] 's sollen eigentlich kleine Phis sein
\phi[mm] =\phi,[/mm] \varphi[mm] =\varphi.
[/mm]
Ziemlich nervig, wenn man mal tatsächlich Griechisch schreiben will. 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 So 27.11.2011 | | Autor: | Infoandi |
danke reverend,
ich wusste nicht das ich [mm] z^{3} [/mm] genauso betrachten kann wie z also
Unsere Zahl $ [mm] z=\green{1}+\blue{0}i [/mm] $ hat also den Betrag $ [mm] |z|=\wurzel{1^2+0^2}=1 [/mm] $
somit ist ja Betrag und Argument gegeben und der Rest ist nur noch einsetzen^^
Der Link zur Moivre-Formel ist echt gut, allein weil da zufällig das Beispiel steht, das ich brauche :D
In meinen Lösungen stehen folgende Werte für beide Gleichungen:
[mm] z_{0}= [/mm] 2
[mm] z_{1}= [/mm] 1 + [mm] \wurzel{3}i [/mm]
[mm] z_{2}= [/mm] -1 + [mm] \wurzel{3}i
[/mm]
[mm] z_{3}= [/mm] -2
[mm] z_{4}= [/mm] -1 - [mm] \wurzel{3}i
[/mm]
[mm] z_{5}= [/mm] 1 - [mm] \wurzel{3}i
[/mm]
also komischerweise alles *2 und dann noch paar Vorzeichenfehler
und nochmals danke
andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | | Finden Sie alle Lösungen der Gleichungen [mm] z^{3} [/mm] - 1 = 0 und [mm] z^{3} [/mm] + 1 = 0 |
Tja dank der Moivre-Formel hab ich nun [mm] z^{3} [/mm] = 1 folgende Lösungen ermitteln können:
[mm] z_{0} [/mm] = 1
[mm] z_{1} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
[mm] z_{2} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
Nun wollte ich lockerflockig das Ganze auch mit [mm] z^{3} [/mm] = -1 machen und habe beim bestimmen des Betrags gemerkt das r und [mm] \varphi [/mm] genauso sind wie bei [mm] z^{3} [/mm] = 1 , also dem entsprechend auch die gleichen Lösungen rauskommen müssen.
Oder irre ich mich da ?
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> Finden Sie alle Lösungen der Gleichungen [mm]z^{3}[/mm] - 1 = 0 und
> [mm]z^{3}[/mm] + 1 = 0
> Tja dank der Moivre-Formel hab ich nun [mm]z^{3}[/mm] = 1 folgende
> Lösungen ermitteln können:
> [mm]z_{0}[/mm] = 1
> [mm]z_{1}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
> [mm]z_{2}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> Nun wollte ich lockerflockig das Ganze auch mit [mm]z^{3}[/mm] = -1
> machen und habe beim bestimmen des Betrags gemerkt das r
> und [mm]\varphi[/mm] genauso sind wie bei [mm]z^{3}[/mm] = 1 , also dem
> entsprechend auch die gleichen Lösungen rauskommen
> müssen.
> Oder irre ich mich da ?
Ja, offensichtlich, denn 1 ist doch keine Lösung der Gleichung
[mm] z^3=-1 [/mm] !
Der Betrag ist gleich 1, aber die Winkel, deren Dreifaches
auf den Winkel [mm] $\pi\ [/mm] \ [mm] (+k*2\,\pi)$ [/mm] führt, sind andere als jene, deren
Dreifaches auf 0 [mm] (+k*2\,\pi) [/mm] führt.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:27 Mo 28.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Andi,
"gegenüber" wäre auch ein interessantes Stichwort.
Stell Dir mal die komplexe Zahlenebene vor. Was ist da zu lösen?
Grüße
reverend
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