n-te Einheitswurzelzerlegung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Do 27.01.2011 | | Autor: | erisve |
| Aufgabe | Die 12te n-te Einheitswurzel ist algebraisch über Q als Nullstelle von [mm] x^{12}-1 [/mm]
Nun soll man [mm] x^{12}-1 [/mm] faktorisieren:
[mm] x^{12}-1= (x^{6}+1)*(x^6-1)=(x^{6}+1)*(x^{3}+1)*(x^{3}-1) [/mm] das versteh ich noch 3 binomische ;) , aber dann
= [mm] (x^{6}+1)*(x^3+1)(x^2+x+1)(x-1)= (x^{6}+1)*(x^2-x+1)(x+1)(x^2+x+1)(x-1)= (x^{4}-x^2+1)(x^2+1)(x^2-x+1)(x+1)(x^2+x+1)(x-1)
[/mm]
Ich würde nie von selbst auf diese Faktorisierung kommen, könnt ihr mir ein Schema erklären oder einen Link im Internet geben, wo die Faktorisierungen von n-ten Einheitswurzeln aufgelistet sind? |
Hallo,
ich schreibe Samstag eine Algebraklausur.
Höchstwahrscheinlich müssen wir das Minimalpolynom von komplexen n-ten Einheitswurzeln berechnen. In der Übung habe ich jenes nicht richtig verstanden...
Wir haben auch das Kreisteilungspolynom angesprochen und nen Kreis mit Unterteilungen gezeichnet,nur weiß ich auch nicht REcht wie jener mir hilft.
Am beste fände ich glaub ich eine Seite wo alle Faktorisierungen von n-ten Einheitswurzeln aufgelistet sind. Kennt wer sowas?
Bitttte helft mir .
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Do 27.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du weisst doch dass man jedes Polynom durch seine reellen Nullstellen teilen kann (also durch [mm] (x-x_0) x^3+1 [/mm] hat die reelle Nst. [mm] x_0=-1 x^3-1 [/mm] die reelle Nst [mm] x_0=1
[/mm]
x^6Hat für [mm] x^2 [/mm] die nst x:=^2=-1 also kanst du dur [mm] x^2-1 [/mm] teilen.
anderer Weg: berechne alle 12ten Wurzeln, d,h, teil den Kreis in 12 Teile, und multiplizier die komplexen Nst auf.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Do 27.01.2011 | | Autor: | erisve |
Danke für die schnelle Antwort.
Wie würde das denn mit der der Multiplikaion der komplexen Nullstellen funkitonieren? Es scheint ja als hätten wir das so gemacht.
Wir haben ja einen Kreis gemalt und ihn in 12 Teile geteilt.
Aber ich weiß noch nicht so ganz was ich multipliziern soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Do 27.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Weisst du, wie man graphisch komplexe Zahlen multipl? und damit entsprechend potenziert? man addiert die Argumente (Winkel zur reellen Achse und multipliziert die Beträge. 2 zahlen auf dem Einheitskreis, werden also hoch n genommen, indem man einfach den Winkel ver n- facht.
2 konjugiert komplexe Zahlen multipliziert ergeben deshalb eine reelle, da die konj. Zahl ja als Arg den negativen Winkel hat.
Die Addition von 2 kkonj komplexen zahlen gibt wieder eine relle zahl, das Doppelte des Realteils
also [mm] z*\overline{z}=|z| [/mm] bei dir |z|=1
[mm] z+z*\overline{z}=2*Re(z)
[/mm]
also [mm] (x-z)*(x-z*\overline{z})=x^2-x(z+z*\overline{z})+z*z*\overline{z}) [/mm] ist ein reelles Polynom
Die Wurzeln kannst du aus deinem 12 geteilten kreis ablesen sie liegen von der rellen achse her gesehen bei n*30° n=1 bis 12
dann kannst du jeweisl die konj. multiplizieren also mit 30 und 330=-30 60 und 300=-60 usw.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:39 Fr 28.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Weisst du, wie man graphisch komplexe Zahlen multipl? und
> damit entsprechend potenziert? man addiert die Argumente
> (Winkel zur reellen Achse und multipliziert die Beträge. 2
> zahlen auf dem Einheitskreis, werden also hoch n genommen,
> indem man einfach den Winkel ver n- facht.
> 2 konjugiert komplexe Zahlen multipliziert ergeben deshalb
> eine reelle, da die konj. Zahl ja als Arg den negativen
> Winkel hat.
> Die Addition von 2 kkonj komplexen zahlen gibt wieder eine
> relle zahl, das Doppelte des Realteils
> also [mm]z*\overline{z}=|z|[/mm] bei dir |z|=1
> [mm]z+z*\overline{z}=2*Re(z)[/mm]
> also
> [mm](x-z)*(x-z*\overline{z})=x^2-x(z+z*\overline{z})+z*z*\overline{z})[/mm]
> ist ein reelles Polynom
> Die Wurzeln kannst du aus deinem 12 geteilten kreis
> ablesen sie liegen von der rellen achse her gesehen bei
> n*30° n=1 bis 12
> dann kannst du jeweisl die konj. multiplizieren also mit
> 30 und 330=-30 60 und 300=-60 usw.
> Gruss leduart
das liefert allerdings nicht die Faktorisierung in ueber [mm] $\IQ$ [/mm] irreduzible Faktoren. Dazu muss man die Einheitswurzeln nach ihrer Ordnung sortieren und entsprechend zusammenmultiplizieren, was gleiche Ordnung hat.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Fr 28.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die 12te n-te Einheitswurzel ist algebraisch über Q als
> Nullstelle von [mm]x^{12}-1[/mm]
> Nun soll man [mm]x^{12}-1[/mm] faktorisieren:
> [mm]x^{12}-1= (x^{6}+1)*(x^6-1)=(x^{6}+1)*(x^{3}+1)*(x^{3}-1)[/mm]
> das versteh ich noch 3 binomische ;) , aber dann
> = [mm](x^{6}+1)*(x^3+1)(x^2+x+1)(x-1)= (x^{6}+1)*(x^2-x+1)(x+1)(x^2+x+1)(x-1)= (x^{4}-x^2+1)(x^2+1)(x^2-x+1)(x+1)(x^2+x+1)(x-1)[/mm]
>
> Ich würde nie von selbst auf diese Faktorisierung kommen,
> könnt ihr mir ein Schema erklären oder einen Link im
> Internet geben, wo die Faktorisierungen von n-ten
> Einheitswurzeln aufgelistet sind?
Am besten macht man das rueckwaerts 
Sei [mm] $\phi_n$ [/mm] das $n$-te Kreisteilungspolynom: das ist gerade das Minimalpolynom einer $n$-ten primitiven Einheitswurzel und somit irreduzibel. Es gilt [mm] $x^n [/mm] - 1 = [mm] \prod_{d \mid n} \phi_d$.
[/mm]
Wenn du also [mm] $x^{12} [/mm] - 1$ faktorisieren willst, bestimmst du erst alle Teiler von 12. Das sind 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Jetzt ist [mm] $\phi_1 [/mm] = x - 1$. Weiterhin ist [mm] $\phi_2 \cdot \phi_1 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - 1$, also [mm] $\phi_2 [/mm] = [mm] \frac{x^2 - 1}{x - 1} [/mm] = x + 1$. Ebenso ist [mm] $\phi_3 \cdot \phi_1 [/mm] = [mm] x^3 [/mm] - 1$, also [mm] $\phi_3 [/mm] = [mm] \frac{x^3 - 1}{x - 1} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + x + 1$ (geometrische Summenformel).
Weiterhin ist [mm] $\phi_4 \cdot \phi_2 \cdot \phi_1 [/mm] = [mm] x^4 [/mm] - 1$, also [mm] $\phi_4 [/mm] = [mm] \frac{x^4 - 1}{(x - 1) (x + 1)} [/mm] = [mm] \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 1$.
Fuer [mm] $\phi_6$ [/mm] gilt nun [mm] $\phi_6 \phi_3 \phi_2 \phi_1 [/mm] = [mm] x^6 [/mm] - 1$, also [mm] $\phi_6 [/mm] = [mm] \frac{x^6 - 1}{(x^2 + x + 1) (x + 1) (x - 1)} [/mm] = ...$, und schliesslich kannst du ebenso [mm] $\phi_{12}$ [/mm] bestimmen.
Und damit zum Schluss das Produkt [mm] $x^{12} [/mm] - 1 = [mm] \prod_{d \mid 12} \phi_d$ [/mm] schoen faktorisiert hinschreiben.
LG Felix
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