(n-te Wurzel von a)^n = a < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebes Forum,
Ich möchte mit einem Widerspruchsbeweis zeigen, daß die n-te Potenz von der n-ten Wurzel einer positiven reellen Zahl a wiederum a ergibt. Also:
Behauptung: (n-te Wurzel von [mm] a)^n [/mm] = a für [mm] n\in\IN, a\in\IR_+.
[/mm]
An einer Stelle hakt es, aber ich gebe einfach mal an, was ich bislang "geschafft" habe.
Beweis:
Setze
M := [mm] \{x\in\IR | x^n \le a\}.
[/mm]
(lt. Definition ist das Supremum dieser Menge die n-te Wurzel von a)
Da 0 in M ist, ist M nicht leer. Offensichtlich ist M nach oben beschränkt (z.B. durch a). Mit der Vollständigkeit von [mm] \IR [/mm] folgt, daß ein [mm] s\in\IR [/mm] existiert mit s = supM (Existenz des Supremums also klar).
Zu zeigen ist nun: [mm] s^n [/mm] = a.
Annahme: [mm] s^n [/mm] > a. (der Fall [mm] s^n [/mm] < a dürfte analog gehen)
Dann ist [mm] s^n [/mm] - a > 0. Wegen der [mm] \varepsilon-Bedingung [/mm] für das Supremum s von M existiert ein [mm] x\in [/mm] M mit:
x > [mm] \underbrace{s-(s^n - a)}_{=s-s^n+a}.
[/mm]
Da [mm] x\in [/mm] M, gilt [mm] x^n \le [/mm] a. Ferner gilt [mm] x\le [/mm] s und somit [mm] x^n \le s^n. [/mm]
- Ich schaffe es nicht, aus diesen Folgerungen und der Annahme [mm] s^n [/mm] > a einen Widerspruch bilden. Es müsste ja so etwas wie x > s (im Widerpruch zur Supremumeigenschaft) sein.
Forme ich die Folgerung aus der [mm] \varepsilon-Bedingung [/mm] um, erhalte ich
x > s - [mm] s^n+a \ge s-s^n +x^n, [/mm] also x - [mm] x^n [/mm] > s - [mm] s^n [/mm] .
Und das gilt offensichtlich, da s [mm] \ge [/mm] x und [mm] s^n [/mm] somit schneller wächst als [mm] x^n. [/mm] Wer kann mir helfen?
Im Voraus bereits vielen herzlichen Dank für einen hilfreichen Tipp!!
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Hallo und guten Abend,
also vorab ein Kommentar: Warum schiesst Du mit so schwerem Geschuetz ?
Die positive n-te Wurzel von a (fuer a>0) ist ja gerade definiert als die Zahl b>0 mit [mm] b^n=a.
[/mm]
Man koennt sich jetzt noch nach der Eindeutigkeit fragen.
Mmmh, kann es sein, dass Du mit Deinem Argument die Existenz beweist, und zwar allein mit
analytischen Methoden ? (Du benutzt Vollst. im analytischen Sinne von [mm] \IR, [/mm] nicht wahr ?)
Sei's drum.
Sei also
[mm] M=\{x\in\IR_{\geq 0}|x^n\leq a\}
[/mm]
Sei [mm] s:=\sup [/mm] M. Ich denk nicht, dass Deine beiden Faelle ganz analog verlaufen. Probieren wir Deinen Fall 1:
Annahme: [mm] s^n>a.
[/mm]
Aber dann sollte doch fuer jedes [mm] 0<\delta [/mm] <s gelten:
[mm] (s-\delta)^n\leq [/mm] a.
(Aus der Supremums-Definition: Zu gegebenem [mm] \delta [/mm] gibt es [mm] x\in [/mm] M mit [mm] x\geq s-\delta, [/mm] und dann ist auch [mm] s-\delta\in [/mm] M.)
Setze [mm] x:=s-\delta. [/mm] Es ist
[mm] s^n=(x+\delta)^n= x^n+\sum_{i=1}^n {n\choose i}\cdot x^{n-i}\cdot\delta^i
[/mm]
Das Argument sollte doch nun so laufen, dass ich [mm] \delta [/mm] so klein waehle, dass der Term
[mm] \sum_{i=1}^nx^{n-i}\cdot\delta^i [/mm] < [mm] s^n-a [/mm] wird und man damit einen Widerspruch zu [mm] x^n\leq [/mm] a bekommt, nicht wahr ?
Die Summe kann ich doch, da das x momentan fest gewaehlt ist, ganz brutal durch
[mm] \max\left\{{n\choose n}\cdot x^0,\ldots , {n\choose 1}\cdot x^{n-1}\right\}\cdot n\cdot \delta
[/mm]
abschätzen,
und dann kannst Du [mm] \delta [/mm] schoen genuesslich klein waehlen.
Klappt's ?
Und fuer den Fall [mm] s^n
Supremums-Definition.
Gruss,
Mathias
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