n-tes Taylorpolynom < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:52 Do 27.01.2011 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | Aufgabe
a) Bestimmen Sie das n-te Taylorpolynom Tn(x) der Funktion f(x) = 1/ 1+x mit Entwicklungspunkt x0 = 0.
b) Geben Sie n an, so dass Tn die Funktion f auf [-0.1,0.1] bis auf 0.0001 approximiert. |
Guten Abend allerseits.
Geht um die oben genannte Aufgabe,wobei a) nicht das Problem ist :
a) n-te Ableitung von f(x) = [mm] \bruch{(-1)^n * n!}{(1+x)^{n+1}}
[/mm]
n-tes Taylorpolynom in x0 = 0
Tn(x,0) = [mm] \summe_{i=0}^{n}(-1)^i x^i
[/mm]
Restglied
Rn(x,0) = [mm] \bruch{f^{n+1}(XI)}{(n+1)!}*x^{n+1}
[/mm]
(Entschudigt mich für die unschöne schreibweise, kriege das noch nicht so hin)
Das oben aufgeschriebene sollte also richtig sein.
zu b) , wo ich was mMn richtiges raushabe, aber unsicher bin,da ich das in der Form noch nicht gemacht habe.
Man soll ja ein n angeben, ab dem das Taylorpolynom bis auf 0,0001 genau die Funktion approximiert, dh,dass sich die Werte maximal um 0,0001 unterscheiden. Right?
Mein Ansatz war :
0.0001 = Rn(x,0)
0.0001 = [mm] \bruch{(-1)^{n+1}*(n+1)!}{(1+XI)^{n+2}*(n+1)!}*x^{n+1}
[/mm]
0.0001 = [mm] \bruch{(-1)^{n+1}}{(1+XI)^{n+2}}*x^{n+1}
[/mm]
jetzt soll ja die rechte Seite am besten kleiner sein als die Linke, also muss rechts möglichst klein werden.
Also habe ich gewählt : x = XI = 0,1 ( aus [-0.1,0.1])
und erhalte :
0.0001 = [mm] \bruch{(-1)^{n+1}}{(1.1)^{n+2}}*0.1^{n+1}
[/mm]
( [mm] (-1)^{n+1} [/mm] kann man doch hier weglassen, da wir ja nur eine Differenz haben wollen und uns das Vorzeichen des obigen Produkts somit nicht interessiert? Darf man das so sagen? Will nicht,dass der Tutor hier meckert. ) Umgeformt also :
0.0001 = [mm] \bruch{1}{1.1}*(\bruch{1}{1.1}*0.1)^{n+1}
[/mm]
0,00011 = [mm] (\bruch{1}{11})^{n+1}
[/mm]
<=> [mm] \bruch{ln(0.00011)}{ln(\bruch{1}{11})} [/mm] -1 = n = 2.801...
Da n eine ganze Zahl ist, gilt also die Approximation auf jedenfall auch für n = 3.
Wenn ich jetzt 3 in Tn(x,0) einsetze und von f(0.1) T3(0.1,0) abziehe,kriege ich [mm] 9.09090...*10^{-5} [/mm] raus, was ja eine sehr kleine Zahl und kleiner als 0.0001 ist.
Dasselbe gilt auch für (-0.1) , womit ich die beiden Extremwerte abgearbeitet habe. Für 0 kommt für f und für Tn 1 raus, da ist die Approximation egal.
Sind Herangehensweise und Ergebnis richtig? Wie gesagt, will nicht,dass der Tutor irgendwo meckert.
Danke schonmal im Voraus 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:38 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe
> a) Bestimmen Sie das n-te Taylorpolynom Tn(x) der Funktion
> f(x) = 1/ 1+x mit Entwicklungspunkt x0 = 0.
>
> b) Geben Sie n an, so dass Tn die Funktion f auf [-0.1,0.1]
> bis auf 0.0001 approximiert.
> Guten Abend allerseits.
>
> Geht um die oben genannte Aufgabe,wobei a) nicht das
> Problem ist :
>
> a) n-te Ableitung von f(x) = [mm]\bruch{(-1)^n * n!}{(1+x)^{n+1}}[/mm]
>
> n-tes Taylorpolynom in x0 = 0
>
> Tn(x,0) = [mm]\summe_{i=0}^{n}(-1)^i x^i[/mm]
>
> Restglied
>
> Rn(x,0) = [mm]\bruch{f^{n+1}(XI)}{(n+1)!}*x^{n+1}[/mm]
Bis hier ist alles O.k.
>
> (Entschudigt mich für die unschöne schreibweise, kriege
> das noch nicht so hin)
>
> Das oben aufgeschriebene sollte also richtig sein.
>
> zu b) , wo ich was mMn richtiges raushabe, aber unsicher
> bin,da ich das in der Form noch nicht gemacht habe.
>
> Man soll ja ein n angeben, ab dem das Taylorpolynom bis auf
> 0,0001 genau die Funktion approximiert, dh,dass sich die
> Werte maximal um 0,0001 unterscheiden. Right?
>
> Mein Ansatz war :
>
> 0.0001 = Rn(x,0)
>
> 0.0001 =
> [mm]\bruch{(-1)^{n+1}*(n+1)!}{(1+XI)^{n+2}*(n+1)!}*x^{n+1}[/mm]
>
> 0.0001 = [mm]\bruch{(-1)^{n+1}}{(1+XI)^{n+2}}*x^{n+1}[/mm]
>
> jetzt soll ja die rechte Seite am besten kleiner sein als
> die Linke, also muss rechts möglichst klein werden.
> Also habe ich gewählt : x = XI = 0,1 ( aus [-0.1,0.1])
> und erhalte :
>
> 0.0001 = [mm]\bruch{(-1)^{n+1}}{(1.1)^{n+2}}*0.1^{n+1}[/mm]
>
> ( [mm](-1)^{n+1}[/mm] kann man doch hier weglassen, da wir ja nur
> eine Differenz haben wollen und uns das Vorzeichen des
> obigen Produkts somit nicht interessiert? Darf man das so
> sagen? Will nicht,dass der Tutor hier meckert. ) Umgeformt
> also :
>
> 0.0001 = [mm]\bruch{1}{1.1}*(\bruch{1}{1.1}*0.1)^{n+1}[/mm]
>
> 0,00011 = [mm](\bruch{1}{11})^{n+1}[/mm]
>
> <=> [mm]\bruch{ln(0.00011)}{ln(\bruch{1}{11})}[/mm] -1 = n =
> 2.801...
>
> Da n eine ganze Zahl ist, gilt also die Approximation auf
> jedenfall auch für n = 3.
>
> Wenn ich jetzt 3 in Tn(x,0) einsetze und von f(0.1)
> T3(0.1,0) abziehe,kriege ich [mm]9.09090...*10^{-5}[/mm] raus, was
> ja eine sehr kleine Zahl und kleiner als 0.0001 ist.
> Dasselbe gilt auch für (-0.1) , womit ich die beiden
> Extremwerte abgearbeitet habe. Für 0 kommt für f und für
> Tn 1 raus, da ist die Approximation egal.
>
> Sind Herangehensweise und Ergebnis richtig?
Nein, so kannst Du das nicht machen !
Das Restglied lautet:
[mm] R_n(x;0)= \bruch{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}
[/mm]
Du sollst nun n so bestimmen, dass gilt:
[mm] $|R_n(x;0)| \le 10^{-4}$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0.1, 0.1]
Dies führt auf
[mm] $\bruch{|x|^{n+1}}{(n+1)(1+\xi)^{n+1}} \le 10^{-4}$
[/mm]
Nutze nun aus, dass [mm] \bruch{1}{(n+1)(1+\xi)^{n+1}} \le [/mm] 1 ist und verwende $|x| [mm] \le 10^{-1}$
[/mm]
FRED
> Wie gesagt,
> will nicht,dass der Tutor irgendwo meckert.
>
> Danke schonmal im Voraus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Do 27.01.2011 | | Autor: | dimi727 |
Ok, so werd ichs machen,aber bist du dir bei deinem Restglied sicher?
$ [mm] \bruch{|x|^{n+1}}{(n+1)(1+\xi)^{n+1}} \le 10^{-4} [/mm] $
[mm] f^{n}(x) [/mm] lautet doch :
$ [mm] \bruch{(-1)^n \cdot{} n!}{(1+x)^{n+1}} [/mm] $
und Rn ist n+1 und wenn man das in [mm] f^{n}(x) [/mm] einsetzt, bekommt man doch :
$ [mm] \bruch{|x|^{n+1}}{(1+\xi)^{n+2}} \le 10^{-4} [/mm] $
Verstehe nicht, wieso bei dir nur ^{n+1} rauskommt und woher du noch das (n+1) herhast? n+1 in [mm] f^{n}(x) [/mm] ergibt
$ [mm] \bruch{(-1)^{n+1} \cdot{} (n+1)!}{(1+x)^{n+2}} [/mm] $
?
mfG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok, so werd ichs machen,aber bist du dir bei deinem
> Restglied sicher?
>
> [mm]\bruch{|x|^{n+1}}{(n+1)(1+\xi)^{n+1}} \le 10^{-4}[/mm]
>
> [mm]f^{n}(x)[/mm] lautet doch :
>
> [mm]\bruch{(-1)^n \cdot{} n!}{(1+x)^{n+1}}[/mm]
>
> und Rn ist n+1 und wenn man das in [mm]f^{n}(x)[/mm] einsetzt,
> bekommt man doch :
>
> [mm]\bruch{|x|^{n+1}}{(1+\xi)^{n+2}} \le 10^{-4}[/mm]
Du hast völlig recht. Da hab ich bei den Exponenten geschludert. Pardon,
FRED
>
> Verstehe nicht, wieso bei dir nur ^{n+1} rauskommt und
> woher du noch das (n+1) herhast? n+1 in [mm]f^{n}(x)[/mm] ergibt
>
> [mm]\bruch{(-1)^{n+1} \cdot{} (n+1)!}{(1+x)^{n+2}}[/mm]
>
> ?
>
> mfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Do 27.01.2011 | | Autor: | dimi727 |
Hallo ich nochmal
Du hast geschrieben :
$ [mm] \bruch{1}{(n+1)(1+\xi)^{n+1}} \le [/mm] 1 $
Das ist doch nicht der Fall fuer [mm] \xi [/mm] = -0.1 ?
Dann ist der Teil links groesser als 1?
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Hallo dimi727,
> Hallo ich nochmal
>
> Du hast geschrieben :
>
> [mm]\bruch{1}{(n+1)(1+\xi)^{n+1}} \le 1[/mm]
>
> Das ist doch nicht der Fall fuer [mm]\xi[/mm] = -0.1 ?
>
> Dann ist der Teil links groesser als 1?
>
Nun, [mm]\bruch{1}{1+\xi}[/mm] ist größer 1 für [mm]\xi < 0[/mm]
Gruss
MathePower
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