n. ob. beschr. Menge mit Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | | Es sei [mm] $M\subset\mathds{R}$ [/mm] eine nichtleere und nach oben beschränkte Menge. Beweisen Sie: Es gilt [mm] $s=\sup [/mm] M$ genau dann, wenn $s$ eine obere Schranke von $M$ ist und es eine Folge [mm] $\left(a_n\right)$ [/mm] gibt mit [mm] $a_n\in [/mm] M$ für alle [mm] $n\in\mathds{N}$ [/mm] und [mm] $\textstyle\lim_{n\to\infty}a_n=s$. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich komme im Moment bei der Aufgabe nicht so ganz weiter. Ich wollte zuerst mal [mm] "$\Longrightarrow$" [/mm] zeigen, da ich irgendwie das Gefühl hatte, dass die Rückrichtung dann recht leicht werden könnte.
Der erste Teil, also "wenn $s$ eine obere Schranke von $M$ ist" ist ja trivial, da das ja aus der Definition des Supremums folgt (oder? :D). Mit dem zweiten Teil habe ich aber so meine Probleme. Eigentlich wäre das ja klar, wenn ich voraussetzen dürfte, dass es eine Folge [mm] $\left(a_n\right)$ [/mm] gibt mit [mm] $a_n\in M\forall n\in\mathds{N}$, [/mm] die monoton wachsend ist oder so was in der Art, aber irgendwie werde ich das wohl kaum dürfen. Ich werde doch wahrscheinlich erst mal zeigen müssen, dass überhaupt eine Folge [mm] $a_n\in M\forall n\in\mathds{N}$ [/mm] existiert, oder?
Ich habe irgendwie keine Idee, wie ich das anstellen soll. Ich wäre also für Tipps sehr dankbar.
Ich finde übrigens, dass ihr die mögliche Länge für das Diskussionsthema etwas vergrößern solltet. Bei mir passt nicht einmal das Beispiel "Nullstellenbestimmung von Parabeln" rein und ich hatte arge Probleme, einen aussagekräftigen Titel zu finden. :) Es sei denn, das liegt nur an mir, dann ignoriert meinen Einwand einfach.
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> Es sei [mm]M\subset\mathds{R}[/mm] eine nichtleere und nach oben
> beschränkte Menge. Beweisen Sie: Es gilt [mm]s=\sup M[/mm] genau
> dann, wenn [mm]s[/mm] eine obere Schranke von [mm]M[/mm] ist und es eine
> Folge [mm]\left(a_n\right)[/mm] gibt mit [mm]a_n\in M[/mm] für alle
> [mm]n\in\mathds{N}[/mm] und [mm]\textstyle\lim_{n\to\infty}a_n=s[/mm].
>
> Hallo zusammen,
>
> ich komme im Moment bei der Aufgabe nicht so ganz weiter.
> Ich wollte zuerst mal "[mm]\Longrightarrow[/mm]" zeigen, da ich
> irgendwie das Gefühl hatte, dass die Rückrichtung dann
> recht leicht werden könnte.
>
> Der erste Teil, also "wenn [mm]s[/mm] eine obere Schranke von [mm]M[/mm] ist"
> ist ja trivial, da das ja aus der Definition des Supremums
> folgt (oder? :D). Mit dem zweiten Teil habe ich aber so
> meine Probleme. Eigentlich wäre das ja klar, wenn ich
> voraussetzen dürfte, dass es eine Folge [mm]\left(a_n\right)[/mm]
> gibt mit [mm]a_n\in M\forall n\in\mathds{N}[/mm], die monoton
> wachsend ist oder so was in der Art, aber irgendwie werde
> ich das wohl kaum dürfen. Ich werde doch wahrscheinlich
> erst mal zeigen müssen, dass überhaupt eine Folge [mm]a_n\in M\forall n\in\mathds{N}[/mm]
> existiert, oder?
>
> Ich habe irgendwie keine Idee, wie ich das anstellen soll.
> Ich wäre also für Tipps sehr dankbar.
Für => konstruierst du dir eine passende Folge:
Ist s = sup M, so gibt es nach Definition des Supremums zu jedem n ein [mm] a_n\in [/mm] M mit [mm] a_n>s-\frac{1}{n}.
[/mm]
Da gleichzeitig [mm] a_n\le [/mm] s gilt (da s ja obere Schranke ist), folgt [mm] \lim_{n\to\infty}a_n=s
[/mm]
>
>
> Ich finde übrigens, dass ihr die mögliche Länge für das
> Diskussionsthema etwas vergrößern solltet. Bei mir passt
> nicht einmal das Beispiel "Nullstellenbestimmung von
> Parabeln" rein und ich hatte arge Probleme, einen
> aussagekräftigen Titel zu finden. :) Es sei denn, das
> liegt nur an mir, dann ignoriert meinen Einwand einfach.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Lustique |
> Für => konstruierst du dir eine passende Folge:
> Ist s = sup M, so gibt es nach Definition des Supremums zu
> jedem n ein [mm]a_n\in[/mm] M mit [mm]a_n>s-\frac{1}{n}.[/mm]
> Da gleichzeitig [mm]a_n\le[/mm] s gilt (da s ja obere Schranke
> ist), folgt [mm]\lim_{n\to\infty}a_n=s[/mm]
Aber dann müsste ich doch davon ausgehen, dass [mm] $\left(a_n\right)$ [/mm] monoton steigt, oder nicht? Darf ich das einfach annehmen? Sonst könnte doch auch einfach gelten [mm] $\limes_{n\to\infty} \left(a_n\right)=-\infty$, [/mm] oder [mm] $\limes_{n\to\infty} \left(a_n\right)=0$ [/mm] oder so, oder bin ich da auf dem Holzweg?
Soll ich nicht gerade zeigen, dass es solch eine Folge gibt? Ich kann doch dann nicht sagen einfach sagen, ich konstruiere mir jetzt einfach eine Folge auf die das zutrifft, oder darf ich das? Aber vielleicht habe ich auch nicht so ganz verstanden, was die Aufgabe da genau von mir will.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Für => konstruierst du dir eine passende Folge:
> > Ist s = sup M, so gibt es nach Definition des Supremums
> zu
> > jedem n ein [mm]a_n\in[/mm] M mit [mm]a_n>s-\frac{1}{n}.[/mm]
> > Da gleichzeitig [mm]a_n\le[/mm] s gilt (da s ja obere Schranke
> > ist), folgt [mm]\lim_{n\to\infty}a_n=s[/mm]
>
> Aber dann müsste ich doch davon ausgehen, dass
> [mm]\left(a_n\right)[/mm] monoton steigt,
Wieso das denn ?
> oder nicht? Darf ich das
> einfach annehmen? Sonst könnte doch auch einfach gelten
> [mm]\limes_{n\to\infty} \left(a_n\right)=-\infty[/mm], oder
> [mm]\limes_{n\to\infty} \left(a_n\right)=0[/mm] oder so, oder bin
> ich da auf dem Holzweg?
Ja
>
> Soll ich nicht gerade zeigen, dass es solch eine Folge
> gibt? Ich kann doch dann nicht sagen einfach sagen, ich
> konstruiere mir jetzt einfach eine Folge auf die das
> zutrifft, oder darf ich das? Aber vielleicht habe ich auch
> nicht so ganz verstanden, was die Aufgabe da genau von mir
> will.
Unter anderem sollst Du zeigen:
Ist s=sup M, so gibt es eine Folge [mm] (a_n) [/mm] in M, die gegen s konvergiert.
ich kann nur das wiederholen, was mein Vorgänger gesagt hat:
Zu n [mm] \in \IN [/mm] gibt es ein [mm] a_n \in [/mm] M mit: [mm] a_n>s-1/n.
[/mm]
Auf diese Weise hast Du eine Folge [mm] (a_n) [/mm] in M gewonnen mit:
s-1/n [mm]
Mit dem " Einschnürungssatz" folgt: [mm] a_n \to [/mm] s
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Di 15.11.2011 | | Autor: | Lustique |
Noch mal eine Verständnisfrage, ähnlich zu der anderen, die ich gestellt habe (vielleicht könnt/wollt ihr eher die hier beantworten):
Wären folgende Gedanken zur Richtung [mm] "$\Longrightarrow$" [/mm] richtig?
1. [mm] $M\subset\mathds{R}$ [/mm] ist eine nichtleere Teilmenge, also kann ich eine Folge [mm] $\left(a_n\right)$ [/mm] konstruieren, mit [mm] $\left(a_n\right)\in [/mm] M [mm] \,\forall n\in\mathds{N}$.
[/mm]
2. Da [mm] $\mathds{R}$ [/mm] ein angeordneter Körper ist, ist auch $M$ angeordnet (Schreibt man das so?), ich kann also die Folge [mm] $\left(a_n\right)$ [/mm] auch so konstruieren, dass [mm] $a_{n+1}\geq a_n$ [/mm] gilt, [mm] $\left(a_n\right)$ [/mm] also monoton wachsend ist. Des Weiteren kann ich nun auch [mm] $\left(a_n\right)$ [/mm] so konstruieren, dass [mm] $\forall m\in M\colon m\in\left(a_n\right)$, [/mm] woraus [mm] $\lim_{n\to\infty}\left(a_n\right)=s$ [/mm] folgt, da $s$ das Supremum von $M$ ist und [mm] $\left(a_n\right)$ [/mm] monoton steigt.
Das mit dem [mm] $\lim_{n\to\infty}\left(a_n\right)=s$ [/mm] müsste ich natürlich noch vernünftig beweisen (also so wie donquijote es gemacht hat, denke ich mal), aber ist das jetzt vom Verständnis her OK?
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> Noch mal eine Verständnisfrage, ähnlich zu der anderen,
> die ich gestellt habe (vielleicht könnt/wollt ihr eher die
> hier beantworten):
>
> Wären folgende Gedanken zur Richtung "[mm]\Longrightarrow[/mm]"
> richtig?
>
> 1. [mm]M\subset\mathds{R}[/mm] ist eine nichtleere Teilmenge, also
> kann ich eine Folge [mm]\left(a_n\right)[/mm] konstruieren, mit
> [mm]\left(a_n\right)\in M \,\forall n\in\mathds{N}[/mm].
> 2. Da
> [mm]\mathds{R}[/mm] ein angeordneter Körper ist, ist auch [mm]M[/mm]
> angeordnet (Schreibt man das so?), ich kann also die Folge
> [mm]\left(a_n\right)[/mm] auch so konstruieren, dass [mm]a_{n+1}\geq a_n[/mm]
> gilt, [mm]\left(a_n\right)[/mm] also monoton wachsend ist.
Das erfüllt schon jede konstante Folge.
> Des
> Weiteren kann ich nun auch [mm]\left(a_n\right)[/mm] so
> konstruieren, dass [mm]\forall m\in M\colon m\in\left(a_n\right)[/mm],
das geht in der Regel nicht. Dazu müsste M abzählbar sein, aber auch für abzählbare Teilmengen von [mm] \IR [/mm] gibt es nur in Ausnahmefällen eine monotone Folge, die alle Elemente der Menge durchläuft.
> woraus [mm]\lim_{n\to\infty}\left(a_n\right)=s[/mm] folgt, da [mm]s[/mm] das
> Supremum von [mm]M[/mm] ist und [mm]\left(a_n\right)[/mm] monoton steigt.
>
> Das mit dem [mm]\lim_{n\to\infty}\left(a_n\right)=s[/mm] müsste ich
> natürlich noch vernünftig beweisen (also so wie
> donquijote es gemacht hat, denke ich mal), aber ist das
> jetzt vom Verständnis her OK?
Du kannst bei der von mir beschriebenen Konstruktion der [mm] a_n [/mm] zusätzlich die Bedingung [mm] a_n\ge a_{n-1} [/mm] einbauen, dann hast du eine monotone Folge. Für den Beweis der Aussage ist das aber nicht nötig (siehe Freds Antwort).
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