n^3 < 2^n < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Rufio87 |
| Aufgabe | | [mm] n^3 [/mm] < [mm] 2^n [/mm] |
[mm] n^3 [/mm] < [mm] 2^n [/mm] für alle n >=10
stimmt das so??
IV: [mm] n^3 [/mm] < [mm] 2^n
[/mm]
IS: [mm] (n+1)^3 [/mm] < 2^(n+1)
2^(n+1) = [mm] 2^n*2 [/mm] >(IV) [mm] 2*n^3 [/mm] = [mm] n^3 [/mm] + [mm] n^3 [/mm] > [mm] (n+1)^3 [/mm] = [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 3n + 1
also [mm] n^3 [/mm] + [mm] n^3 [/mm] > [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 3n + 1 ( [mm] -n^3)
[/mm]
daraus erhält man [mm] n^3 [/mm] > [mm] 3n^2 [/mm] + 3n + 1 ( [mm] /n^2)
[/mm]
n > 3 + 3/n + [mm] 1/n^2
[/mm]
durch abschätzung gilt das für alle n > 4 also auch für alle n >=10!!
Stimmt das so, kann man da einfach zum schluss abschätzen??
was ich nicht ganz kapier ist wie man auf das kommt:
[mm] n^3 [/mm] + [mm] n^3 [/mm] > [mm] (n+1)^3
[/mm]
habe mir vorher nämlich ein ähnliches beispiel angeschaut bei dem auch derselbe schritt durchgeführt wurde, ich aber nicht kapier wieso man das machen "darf"!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mi 08.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]n^3[/mm] < [mm]2^n[/mm]
> [mm]n^3[/mm] < [mm]2^n[/mm] für alle n >=10
>
> stimmt das so??
>
> IV: [mm]n^3[/mm] < [mm]2^n[/mm]
> IS: [mm](n+1)^3[/mm] < 2^(n+1)
>
> 2^(n+1) = [mm]2^n*2[/mm] >(IV) [mm]2*n^3[/mm] = [mm]n^3[/mm] + [mm]n^3[/mm] > [mm](n+1)^3[/mm] = [mm]n^3[/mm] +
> [mm]3n^2[/mm] + 3n + 1
>
> also [mm]n^3[/mm] + [mm]n^3[/mm] > [mm]n^3[/mm] + [mm]3n^2[/mm] + 3n + 1 ( [mm]-n^3)[/mm]
> daraus erhält man [mm]n^3[/mm] > [mm]3n^2[/mm] + 3n + 1 ( [mm]/n^2)[/mm]
>
> n > 3 + 3/n + [mm]1/n^2[/mm]
>
> durch abschätzung gilt das für alle n > 4 also auch für
> alle n >=10!!
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> Stimmt das so, kann man da einfach zum schluss
> abschätzen??
>
> was ich nicht ganz kapier ist wie man auf das kommt:
> [mm] [mm!n^3[/mm] [/mm] + [mm]n^3[/mm] > [mm](n+1)^3[/mm]
natuerlich darf man das eigentlich nicht so hinschreiben, sondern das ist die eigentliche Behauptung, die man zeigen muss! dadurch , dass du das aber am Ende zeigst, ist es nicht falsch! besser waere zuerst [mm]n^3[/mm] > [mm]3n^2[/mm] + 3n + 1 ( [mm]/n^2)[/mm] fuer n>10 zu zeigen, und dann erst dieses Ungleichheitszeichen begruendet setzen.
so schreibt man das erstmal als Beh. und beweist es nachtraeglich.
Beim Beweis wuerd ich n>10 direkt benutzen indem du sagst die Rechte Seite ist kleiner als [mm] 3n^2+3/10+1/100
[/mm]
> habe mir vorher nämlich ein ähnliches beispiel angeschaut
> bei dem auch derselbe schritt durchgeführt wurde, ich aber
> nicht kapier wieso man das machen "darf"!!!
Gruss leduart
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Hi,
ich weiß nicht, ob's klar ist und daher von dir hier weggelassen wurde. Für den kompletten Beweis fehlt auf jeden Fall noch der Induktionsanfang mit n=10.
Grüße Patrick
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