n=V,q=E->n-q Komponenten? < Graphentheorie < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige: Ein Graph mit n Ecken und q Kanten hat mindestens n-q Komponenten. |
Hi, naja ich versuche die Aufgabe zu lösen. Leider komme ich nicht weiter, bis jetzt habe ich nur herausgefunden das, bei n-1 <= q folgt, das n-q <= 1 ist. Bei n-1 > g, habe ich dann letztendlich mindesten 2 Knoten mehr als Kanten also mindensten zwei Zusammenhangskomponenten, aber wie komme ich dann mathematisch sauber auf die genau Formel n-q? (rein logisch ist es mir klar, dass n-q stimmt nur wie beweise ich das sauber?)
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> Zeige: Ein Graph mit n Ecken und q Kanten hat mindestens
> n-q Komponenten.
> Hi, naja ich versuche die Aufgabe zu lösen. Leider komme
> ich nicht weiter, bis jetzt habe ich nur herausgefunden
> das, bei n-1 <= q folgt, das n-q <= 1 ist. Bei n-1 > g,
> habe ich dann letztendlich mindesten 2 Knoten mehr als
> Kanten also mindensten zwei Zusammenhangskomponenten, aber
> wie komme ich dann mathematisch sauber auf die genau Formel
> n-q? (rein logisch ist es mir klar, dass n-q stimmt nur wie
> beweise ich das sauber?)
Hallo,
wenn es "rein logisch" klar ist, sollte es eigentlich
auch möglich sein, das Ganze als Beweis zu Papier
zu bringen.
Ich würde dir mal vorschlagen, den Weg zu einem
Beweis in kleine Einzelschritte aufzuteilen. Als
Anregung könntest du vorerst z.B. etwa diesen
Fragen nachgehen:
1.) Wie viele Knoten kann ein zusammenhängender
Graph mit genau q Kanten maximal haben ? Warum ?
2.) Bezeichnen wir die Mindestzahl der Komponenten
eines Graphen mit n Ecken und q Kanten einmal mit
M(n,q) - und zwar ohne (!!!) dabei die behauptete
Lösung M(n,q) = n-q schon anzunehmen.
2.a) Wie groß ist dann M(n,0) ? Beweis dafür ?
2.b) Falls wir für M(n,q) schon einen passenden Term
hätten, wie können wir dann von einem solchen Term
auf M(n+1,q) schließen ? (natürlich auch mit klarer
Begründung)
Ich denke, dass dann der Schritt zu einer vollständigen
Herleitung einer Formel für M(n,q) nicht mehr schwer
fallen sollte.
LG , Al-Chwarizmi
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> 1.) Wie viele Knoten kann ein zusammenhängender
> Graph mit genau q Kanten maximal haben ? Warum ?
Betrachte man einen Baum so ist dieser kantenminimal zshg. , das heißt ein Baum hat die maximale Anzahl an Knoten bei gegebenem q und ist zshg. Für ein Baum gilt. q = n-1. Also ist die maximale Knotenzahl eines zshg Baum bei gegeben q: n <= q+1.
> 2.) Bezeichnen wir die Mindestzahl der Komponenten
> eines Graphen mit n Ecken und q Kanten einmal mit
> M(n,q) - und zwar ohne (!!!) dabei die behauptete
> Lösung M(n,q) = n-q schon anzunehmen.
>
> 2.a) Wie groß ist dann M(n,0) ? Beweis dafür ?
Die Antwort lautet n, denn eine Zshg-Komponente ist ja definiert als maximaler zshger Subgraph, sodass dieser Subgraph mit einem zusätzlichen Knoten aus dem Hauptgraph nicht mehr zshg ist. Betrachtet man also eien isolierten Knoten ist dieser zshg, fügt man aber zu diese subgraphen einen weiteren (isolierten) Knoten hinzu, dann sind diese beiden Knoten nicht mehr zshg -> jeder isolierte Knoten ist eine einzelne ZSHG-Komponenten und da dieser Graph aus n isolierten Knoten besteht hat er genau n ZSHG-Komponenten.
> 2.b) Falls wir für M(n,q) schon einen passenden Term
> hätten, wie können wir dann von einem solchen Term
> auf M(n+1,q) schließen ? (natürlich auch mit klarer
> Begründung)
Induktionsanfang n= 0, der Graph hat 0 Komponenten (0-0 >= 0) also richtig.
Okay also sei G ein Graph mit n+1 Knoten und q Kanten, sowie k Komponenten. Dann entferne einen Knoten und erhalte G' m sodass gilt G' ist immernoch zshg. Muss man hier zeigen, dass das immer geht. Oder gibt es sogar Fälle in denen das nicht geht? (Ich kann mir keinen vorstellen bei dem das nicht gehen soll)
Für diesen Graphen gilt dann nach Induktionsvorraussetzung.
k' >= n'-q'.
n'= n-1
q' <= q-1 (Da G' zshg ist muss ich beim entfernen eines Knotens mindesten eine Kante entfernt haben)
insgesamt gilt also
k' >= n-1 - q+1 = n-q
Da ich beim entfernen eines Knotens, nämlich beim entfernen eines isolierten Knotens bereits eine Komponente entfernt haben könnte gilt k' <= k
ingesamt gilt also k >= k' >= n-q, also k>= n-q [mm] \Box
[/mm]
Ist das ganze so richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 26.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> > 1.) Wie viele Knoten kann ein zusammenhängender
> > Graph mit genau q Kanten maximal haben ? Warum ?
>
> Betrachte man einen Baum so ist dieser kantenminimal zshg.
> , das heißt ein Baum hat die maximale Anzahl an Knoten bei
> gegebenem q und ist zshg. Für ein Baum gilt. q = n-1. Also
> ist die maximale Knotenzahl eines zshg Baum bei gegeben q:
> n <= q+1. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Vielleicht sollte man (falls das nicht schon vorher be-
wiesen wurde) noch zeigen, dass jeder Graph, der einen
Kreis enthält, nicht "kantenminimal" ist. Das ist natürlich
sehr leicht, sollte aber wenigstens erwähnt werden.
Auch ein nicht zusammenhängender Graph mit k Kompo-
nenten ist nur dann kantenminimal sein, wenn alle
seine Komponenten Bäume sind.
> > 2.) Bezeichnen wir die Mindestzahl der Komponenten
> > eines Graphen mit n Ecken und q Kanten einmal mit
> > M(n,q) - und zwar ohne (!!!) dabei die behauptete
> > Lösung M(n,q) = n-q schon anzunehmen.
> >
> > 2.a) Wie groß ist dann M(n,0) ? Beweis dafür ?
> Die Antwort lautet n, denn eine Zshg-Komponente ist ja
> definiert als maximaler zshger Subgraph, sodass dieser
> Subgraph mit einem zusätzlichen Knoten aus dem Hauptgraph
> nicht mehr zshg ist. Betrachtet man also eien isolierten
> Knoten ist dieser zshg, fügt man aber zu diese subgraphen
> einen weiteren (isolierten) Knoten hinzu, dann sind diese
> beiden Knoten nicht mehr zshg -> jeder isolierte Knoten ist
> eine einzelne ZSHG-Komponenten und da dieser Graph aus n
> isolierten Knoten besteht hat er genau n ZSHG-Komponenten.
>
>
> > 2.b) Falls wir für M(n,q) schon einen passenden Term
> > hätten, wie können wir dann von einem solchen Term
> > auf M(n+1,q) schließen ? (natürlich auch mit klarer
> > Begründung)
>
> Induktionsanfang n= 0, der Graph hat 0 Komponenten (0-0 >=
> 0) also richtig.
>
> Okay also sei G ein Graph mit n+1 Knoten und q Kanten,
> sowie k Komponenten. Dann entferne einen Knoten und erhalte
> G' sodass gilt G' ist immernoch zshg. Muss man hier
> zeigen, dass das immer geht. Oder gibt es sogar Fälle in
> denen das nicht geht? (Ich kann mir keinen vorstellen bei
> dem das nicht gehen soll)
Natürlich geht es im Allgemeinen nicht, einem Graph
einfach einen Knoten wegzunehmen (also n um 1 zu
reduzieren). Dabei nimmt man ja den von diesem
Knoten ausgehenden Kanten einen ihrer Endpunkte
weg - und das ist nicht erlaubt. War der Knoten ein
isolierter Punkt (ohne Kanten), so verändert man k .
Ich denke, dass man zum Beweis eine etwas andere
Idee brauchen würde. Geh also lieber von einem
Graph mit gegebenen Werten von n,q,k aus und
ergänze ihn durch einen zusätzlichen Knoten, für
den es zwei Möglichkeiten gibt: Entweder ist es ein
isolierter Knoten ohne Kanten, oder man verbindet
ihn durch (wenigstens) eine zusätzliche Kante mit
dem Restgraph. Nun gilt es zu beschreiben, wie sich
bei solchen Veränderungen die Werte von n, q und k
ändern können.
LG , Al-Chw.
LG , Al-Chw.
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