n Bonbons auf n Kinder vert.? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich verzweifel gerade an Stochastik. Wieviele Möglichkeiten gibt es, n Bonbons auf n Kinder zu verteilen, wenn die Reihenfolge egal ist und auch Kinder leer ausgehen können?
Irgendwie habe ich da gerade einen Hänger...
Helft ihr mir?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Mo 10.11.2008 | | Autor: | reverend |
Die Frage ist unklar, mir jedenfalls.
Was heißt denn, "wenn die Reihenfolge egal ist"?
Nehmen wir den einfachen Fall von drei Kindern A,B,C und drei Bonbons (die untereinander wohl gleich sind, oder?). Dann gäbe es folgende Verteilungen:
A B C
1) 3 0 0
2) 0 3 0
3) 0 0 3
4) 2 1 0
5) 2 0 1
6) 1 2 0
7) 0 2 1
8) 1 0 2
9) 0 1 2
10) 1 1 1
Wieviele sind das denn nun? Aus Sicht der Kinder sicher 10 verschiedene, aber was will der Aufgabensteller? Sind die sechs Ergebnisse 4 bis 9 voneinander unterschieden oder sind sie gleichzusetzen? Gibt es also vielleicht nur 3 mögliche Ergebnisse: 3--, 21-, 111 ?
Das einzige Ergebnis, bei dem diese Frage keinen Unterschied macht, ist ja Nr. 10...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Mo 10.11.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
jaja, die gute Stochastik. Bin auch kein Freund der Stochastik. Dir sagt doch sicher - als Student im Hauptstudium - das "Zellenmodell" etwas.
Verteilt man zum Beispiel k Murmeln auf N Zellen und geht davon aus, dass Mehrfachbelegung (einige Kinder bekommen mehr als ein Bonbon, wieder andere gehen leer aus) möglich ist und die Murmeln nicht unterscheidbar sind (gehen wir also davon aus, die Bonbons seien von ein und derselben Sorte) , so gibt es
[mm] \vektor{N+k-1 \\ k} [/mm] Möglichkeiten, die k Murmeln auf die N Zellen zu verteilen.
MfG barsch
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Danke euch beiden für eure Antworten.
es tut mir leid, dass ich die Frage unklar gestellt habe, das liegt aber wohl daran, dass sie mir selber unklar ist. Stochastik ist einfach absolut nicht mein Thema.
Ich brauche die Antwort eigentlich auch für Analysis, für eine e-Funktion.
Dort sollten wir die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechnen, dass, wenn aus einem Teig mit n Rosinen n Brötchen geformt werden, ich ein Brötchen kaufe, in dem keine Rosine ist. Daher habe ich mir überlegt, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, n Rosinen auf n Brötchen und dann n Rosinen auf n-1 Brötchen zu verteilen.
Mit "die Reihenfolge ist egal" meinte ich eigentlich, dass es egal ist, ob ,bei deinem Beispiel mit 3 Brötchen, im 1., 2. oder 3. die 3 Rosinen beispielsweise sind. Also wären Fall 1-3 für mich die selben.
Mit der Formel von barsch, die ich auch schon in meinem alten Skript gefunden hatte, kam ich immer auf 10 und dachte daher, dass die Formel nicht stimmt. Aber vielleicht stimmte mein Ansatz nicht und ich muss die Reihenfolge doch beachten?!
Wäre dann die Wahrscheinlichkeit für ein Brötchen ohne Rosinen [mm] \bruch{\vektor{n-1+n-1 \\ n}}{\vektor{n+n-1 \\ n}}, [/mm] da bei mir ja n=k ist?
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(sorry, ich tilge gerade Tippfehler und Kleinigkeiten - im wachen Zustand schreibe ich nicht so viele Versionen)
Das ist in der Tat eine andere Aufgabe - und nicht äquivalent (oder gar homomorph) zu der Aufgabe mit den Kindern und den Bonbons. Die ursprüngliche Aufgabe hätte dann lauten müssen: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Kind kein Bonbon bekommt?
Doch zu den Brötchen. Der einfachste Weg ist, ein einzelnes Brötchen zu betrachten, nämlich das, das ich gerade gekauft habe.
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Rosine Nr. 1 nicht darin befindet, beträgt genau [mm] \bruch{n-1}{n}. [/mm] Das gilt genauso für jede Rosine k mit [mm] 1\le k\le [/mm] n.
Die Wahrscheinlichkeit p, dass sich also gar keine Rosine in meinem Brötchen findet, beträgt [mm] p=(\bruch{n-1}{n})^n.
[/mm]
Das mit einer Exponentialfunktion zu approximieren, ist dann aber doch nicht so einfach herzuleiten.
Hier ein paar Werte für n, [mm] p_n:
[/mm]
2 0,25
10 0,348678...
100 0,366032...
1000 0,367695...
10000 0,367861...
100000 0,367877...
Die Funktion p(n) wird also irgendwie so aussehen: [mm] a-b*e^{cn} [/mm] mit [mm] a,b,c\in\IR [/mm] (und alle >0)
...und a sieht ganz so aus, als wäre es [mm] \bruch{1}{e}.
[/mm]
Interessant finde ich ja, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mein Brötchen keine Rosine enthält, steigt, wenn n wächst!
Nachtrag: da gab es eine Reihenentwicklung (von e) von Euler selbst, die Dir die Herleitung der Näherungsfunktion erleichtern würde. Ich komme aber nicht drauf. Weiß jemand, was ich meine? 
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Super, vielen Dank dafür!
Dass die Aufgabe mit den Kindern nicht gleichzusetzen ist mit der Brötchen-Aufgabe war mir klar. Ich habe nur zuerst überlegt, wieviele Möglichkeiten es gibt, n Rosinen auf n Brötchen zu verteilen und bin so auf meine Kinder-Frage gekommen.
Die Wahrscheinlichkeit [mm] (\bruch{n-1}{n})^n [/mm] stimmt, das sollte als Lösung herauskommen. Kannst du mir vielleicht noch erklären, wie man darauf kommt? Wir haben leider nur die Lösung und keinen Lösungsweg. Mein Ansatz von oben "Möglichkeiten der Brötchen ohne Rosinen (Rosinen auf n-1 Brötchen verteilen)" : "alle Möglichkeiten n Rosinen in n Brötchen zu verteilen" scheint ja nicht richtig gewesen zu sein...
Ansonsten sollten wir noch den Limes der Wahrscheinlichkeit bestimmen, das ist meines Erachtens nach [mm] \bruch{1}{e}. [/mm] Nur was dies bedeutet, ist mir noch nicht ganz klar. Bei großen n ist in jedem [mm] \bruch{1}{e} [/mm] - ten Brötchen keine Rosine?
Ich glaube nicht, dass wir eine Näherungsfunktion brauchen, aber ich werde mal versuchen, etwas über Eulers Reihenentwicklung herauszubekommen. Schaden kanns ja nicht...
Liebe Grüße,
Katrin
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Hmm, ich dachte, ich hätte den Lösungsweg schon angegeben...
Ich betrachte nur ein Brötchen (das war gefragt), und schaue nach, wie wahrscheinlich sich welche Rosine darin findet.
Für jede einzelne Rosine gilt, dass sie mit der Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] in meinem Brötchen gelandet ist, und entsprechend mit der Wahrscheinlichkeit [mm] 1-\bruch{1}{n}=\bruch{n-1}{n} [/mm] sich woanders aufhält.
Die Gesamtwahrscheinlichkeit resultiert dann aus der gleichzeitigen Betrachtung aller Rosinen:
[mm] p(n)=\produkt_{k=1}^{n}p_k
[/mm]
wobei [mm] p_k [/mm] die Wahrscheinlichkeit des Fehlens der Rosine k in meinem Brötchen angibt.
Wie schon angegeben, ist [mm] p_k=\bruch{n-1}{n} [/mm] und damit
[mm] p(n)=\produkt_{k=1}^{n}p_k=\produkt_{k=1}^{n}\bruch{n-1}{n}=(\bruch{n-1}{n})^n
[/mm]
Der Weg, den Du einschlagen wolltest, ermittelt viel mehr Informationen und ist daher auch mühsamer zu gehen.
Dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}p(n)=\bruch{1}{e}, [/mm] ist nur zu zeigen, wenn Du für p(n) eine Umformung findest, für die Konvergenz besser nachzuweisen ist als für die vorliegende Form (bei der ich da keinen Weg sehe).
Such doch mal nach Reihenentwicklungen von [mm] \bruch{1}{e}, [/mm] vielleicht findest Du da etwas, das hier passen könnte.
Übrigens heißt die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{e}, [/mm] dass im Durchschnitt in jedem e-ten Brötchen keine Rosine ist.
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