n*n Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Di 29.06.2004 | | Autor: | tine |
Hallo,
ich hab da eine Aufgabe mit der ich nicht zurecht komme,:
Es seien A, B, C , D seien n*n Matrizen, A sei zusätzlich invertierbar. Zeigen Sie: Wenn AC=CA, dann gilt für die (2n*2n) - Matrix [mm] \pmat{ A & B \\ C & D }
[/mm]
det [mm] \pmat{ A & B \\ C & D }= [/mm] det( AD-CB).
Zeigen sie an einem Beispiel, dass die Behauptung falsch wird, wenn AC [mm] \not=CA
[/mm]
Man könnte das ganze vielleicht mit einer (2n*2n)- Matrix multiplizieren die so [mm] aussieht:\pmat{ E_{n} & 0 \\ X & E_{n}} [/mm]
[mm] E_{n}= [/mm] n*n Einheitsmartix
0 = Nullmatrix
Die Determinate dieser Marix hat ja den Wert 1.
Wär lieb wenn mir jemand helfen könnte!!
Liebe Grüße
Tine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Di 29.06.2004 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Liebe Tine!
Hattet ihr denn schon den Satz, dass für eine Block-Matrix
$\begin{pmatrix}A & 0 \\ B & C \end{pmatrix}$
(d.h. wo rechts oben die Nullmatrix steht)
gilt:
$\det \begin{pmatrix}A & 0 \\ B & C} \end{pmatrix} = \det(A) \cdot \det(C)$
und das gleiche für Matrizen, wo links unten die Nullmatrix steht? (Wenn ihr das nicht hattet, kann man das aber auch leicht einsehen, melde dich in diesem Fall noch einmal.)
Wenn ja, dann ist die Aufgabe nämlich ganz einfach, da ja
$\begin{pmatrix} E_n & 0 \\ -CA^{-1} & E_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D - CA^{-1} B \end{pmatrix}$
gilt, und somit:
$\underbrace{\det(E_n) \cdot \det(E_n)}_{\, =1} \cdot \det \begin{pmatrix}A & B \\ C & D \end{pmatrix}= \det(A) \cdot \det(D - CA^{-1}B)= \det(AD - ACA^{-1}B) = \det(AD-CB)$,
wenn $A$ und $C$ vertauschbar sind (dies wurde bei der letzten Gleichheit benötigt).
Das Gegenbeispiel findest du doch selber, oder?
Wenn nicht, dann melde dich noch mal. 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:52 Di 29.06.2004 | | Autor: | tine |
Hallo,
vielen Dank für die Hilfe. Als Gegenbeispiel habe ich folgendes
$ [mm] \underbrace{\det(E_n) \cdot \det(E_n)}_{\, =1} \cdot \det \begin{pmatrix}A & B \\ C & D \end{pmatrix}= \det(A) \cdot \det(D [/mm] - [mm] CA^{-1}B)= \det(AD [/mm] - [mm] ACA^{-1}B) \not= \det(AD-CB) [/mm] $
wenn AC [mm] \not= [/mm] CA
Also ist die letzte Gleichheit nicht möglich oder?
Liebe Grüße
tine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Di 29.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Tine!
Nein, du sollst ein konkretes Gegenbeispiel (mit Zahlen!) angeben.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mi 30.06.2004 | | Autor: | amtrax |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Ich hab jetzt schon mehrmals versucht ein brauchbares Beispiel zu finden, bisher allerdings ohne sichtbaren erfolg. Könntest du mir mal nen ansatz oder tipp geben, wie die einzelnen Matrizen in etwa aussehen sollten? Schonmal ein dankeschön.
https://matheraum.de/read?f=16&t=1503&v=t
cya AmTraX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:48 Do 01.07.2004 | | Autor: | tine |
Hallo,
das mit dem Zahlenbeispiel is irgendwie komisch. Hast du jetzt eins gefunden?
Liebe Grüße,
tine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:15 Do 01.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo zusammen!
Also, ich habe ein Gegenbeispiel gefunden, glaube ich:
[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Aber das solltet ihr noch einmal nachrechnen, denn ich verrechne mich schon mal ganz gerne. 
Liebe Grüße
Julius
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