natürlicher interpol. Spline < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für Funktionen v [mm] \in C^{2}([a,b]) [/mm] definieren wir [mm] J[v]=\integral_{a}^{b}{(v''(x))^{2} dx}.
[/mm]
Betrachte den natürlichen interpolierenden Spline s durch die Stützpunkte [mm] (x_{k},y_{k}), [/mm] k=0,1,...,n, mit [mm] y_{k}=f(x_{k}), [/mm] wobei [mm] f:[a,b]\to \IR [/mm] eine beliebige zweimal stetig differenzierbare Fuktion ist. Zeige, dass [mm] J[s]\le [/mm] J[f].
Hinweis: Zeige zuerst, dass [mm] \integral_{a}^{b}{s''(x)(f''(x)-s''(x)) dx}=0
[/mm]
und benutze dann die Formel [mm] u^{2}-v^{2}=(u-v)^{2}+2v(u-v). [/mm] |
Nun also ich habe zuerst mal [mm] \integral_{a}^{b}{s''(x)(f''(x)-s''(x)) dx}=0 [/mm] gezeigt:
[mm] \integral_{a}^{b}{s''(x)(f''(x)-s''(x)) dx}=\summe_{k=0}^{n-1}\integral_{k}^{x_{k}+1}{s''(x)(f''(x)-s''(x) dx}=\summe_{k=0}^{n-1}[s''(x)(f'(x)-s'(x)]^{x_{k}+1_x_{k}}-\integral_{a}^{b}{s'''(x)(f'(x)-s'(x)) dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] s''(x)(f''(x)-s''(x)) ist stetig auf [a,b]:
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}[s''(x)(f'(x)-s'(x)]^{x_{k}+1_x_{k}}=[s''(x)(f'(x)-s'(x)]^{a}_{b}=0
[/mm]
Zuerst ist dies richtig??
Und was soll ich dann mit dieser gegebenen Formel anfangen? Was ist denn da mein u bzw. mein v?
Und wie kann ich dann auf J[v] zurückführen?
Danke für die Hilfe :) mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 So 18.03.2012 | | Autor: | unibasel |
hat niemand eine Idee?:)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 19.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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