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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Damn88 |
| Aufgabe | Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilung
P[X=k] = [mm] \vektor{k-1\\ r-1}(1-p)^{k-r}*p^r [/mm] (k=r,r+1,...).
a) Zeigen Sie [mm] \summe_{k=r}^{\infty}P[X=k] [/mm] =1
b) Berechnen Sie E[X].
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Hey, ich komm bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter!
Ich habe bei der a) gerechnet und gerechnet und einfach nichts sinnvolles herausbekommen.. Deswegen hab ich mich dann erst mal an der b) versucht. Hat denn vielleicht jemand einen guten Tipp zur a)?
b)
E[X] = [mm] \summe_{k=r}^{\infty}k*\vektor{k-1\\ r-1}(1-p)^{k-r}*p^r
[/mm]
= [mm] r*p^r *\summe_{k=r}^{\infty}*\vektor{ k\\r}*(1-p)^{k-r}
[/mm]
= [mm] r*p^r *\summe_{k=0}^{\infty}*\vektor{k+r\\r}*(1-p)^{k}
[/mm]
So an dieser Stelle habe ich in irgendeinem Forum(find die Seite nicht mehr) gelesen:
= [mm] (r*p^r)/(1-(1-p))^{r+1} [/mm] =r/p
ja..schön..das ja soll auch denke ich rauskommen.. aber WIE kommt man darauf? was wurde da angewendet?
Da ich das nicht weiß, habe ich versucht die Binomialreihe anzuwenden..aber das hab ich nicht hinbekommen, weil ich dann [mm] (r*p^r*(1+1-p)^{k+r}) [/mm] raus hatte..aber das kann ich ja gar nicht machen, weil k ja der Laufindex in der Summe ist..
Kann ich hier die geometrische Reihe "anwenden"?
Oh man..ich wäre echt unheimlich dankbar, wenn mir jemand helfen könnte!
Danke und viele Grüße,
Damn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Sa 01.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Zu a) ![[]](/images/popup.gif) Da schau her.
zu b) Idee: Was passiert, wenn man die Reihe ableitet?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Damn88 |
Ich hab es hinbekommen :)
Vielen vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 So 02.11.2008 | | Autor: | winzi |
Ich verstehe das leider nicht.
Darauf negative binomialverteilung oder binomialreihe bei wikipedia nachzuschauen war ich auch schon gekommen, aber da gehen die reihen immer schon bei null los und das macht in diesem fall doch garkeinen sinn. ich verstehe nicht, wie man diese binomialreihe auf die negative binomialverteilung übertragen kann. und binomialkoeffizienten kann ich auch nicht ableiten.
wäre voll nett, wenn das mir jemand erläutern könnte
grüße
winzi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 02.11.2008 | | Autor: | winzi |
hm ok, also ich habe jetzt doch in dem Link den Tipp entdeckt, habe wohl etwas überstürzt die Verzweiflung zum ausdruck gebracht.
aber für den erwartungswert wär n tipp trotzdem nützlich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 So 02.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin winzi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Nach 1) ist
[mm] $1=\sum_{k=r}^\infty\vektor{k-1\\ r-1}(1-p)^{k-r}\cdot{}p^r [/mm] $
Leite nun nach p ab (darf man das?) ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Mo 03.11.2008 | | Autor: | winzi |
Hi!
Lieb, dass du so schnell geantwortet hast.
also, wenn man das nach p ableitet bekommt man raus, dass
[mm] r*p^r*\summe_{i=1}^{\infty}\vektor{k+r-1 \\ k}*(-k)*(1-p)^{k-1}=0 [/mm] ist Dies legt nahe, in der Summe des Erwartungswert nach der indexveschiebung das nullte glied rauszuziehen. aber damit komm ich nicht aufs ergebnis...
Danke für eure Mühe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Mo 03.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin winzi,
seltsam! Hier in Niedersachsen rechnet man auch gerne mit der Produktregel. *Ich* erhalte so fuer die Ableitung:
[mm] $\frac{\partial}{\partial p} \sum_{k=r}^\infty\vektor{k-1\\ r-1}(1-p)^{k-r}\cdot{}p^r =-\sum_{k=r}^\infty(k-r)\vektor{k-1\\ r-1}(1-p)^{k-r-1}\cdot{}p^r+r\sum_{k=r}^\infty\vektor{k-1\\ r-1}(1-p)^{k-r}\cdot{}p^{r-1}$
[/mm]
vg Luis
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