nicht-konstante ganze Fktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Mo 16.05.2022 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Sei $f: [mm] \mathbb{C}\to\mathbb{C}$ [/mm] eine nicht-konstante ganze Funktion.Zeigen Sie die Äquivalenz der folgende Aussagen
$(i)$ $ f $ist ein Polynom.
$(ii)$ Es gibt Konstanten [mm] $R_0,C,s>0$ [/mm] derart, dass
[mm] $f(\mathb{C} \setminus K_{R}(0)) \subset \mathbb{C}\setminus K_{CR^s}(0)$
[/mm]
für alle [mm] $R>R_0$ [/mm] gilt.
$(iii)$ Zu jedem $R>0$ exitiert ein $R' >0$ derart,dass
[mm] $f(\mathb{C} \setminus K_{R'}(0)) \subset \mathbb{C}\setminus K_{R}(0)$ [/mm] |
Hallo,
Die Beweisstrategie, die ich anwenden möchte, ist der Ringschluss. Das heißt, dass ich zeige werden, dass $(i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (iii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i)$ gilt.
1. $(i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii)$
Wir haben als Voraussetzung, dass $f$ eine nicht-konstante ganze Funktion und $f$ ist ein Polynom. Sei nun [mm] $f(z)=\sum_{j=0}^{n} a_j \cdot z^j \in \mathbb{C}[z]$ [/mm] ein nicht konstantes Polynom vom Grad n. Laut meinen Skript sind dann mit dem Fundamentalsatz der Algebra zwei Aussagen in diesem Setting äquivalent:
$(1)$$f(z)$ hat eine Nullstelle in [mm] $\mathbb{C}$
[/mm]
$(2)$Es gibt [mm] $b_1,...,b_n \in \mathbb{C}$ [/mm] mit der Eigenschaft $f(z)= [mm] a_n \produkt_{j=1}^{n}(z-b_i)$.
[/mm]
Nun folgere ich mit Hilfe des Satzes, dass $f(z)$ eine Nullstelle $z [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm] mit $f(z)=0$hat.
Ich wollte nun irgendwie [mm] $K_R(0)$ [/mm] ins Spiel bringen, weiß aber nicht wie..
Würde mir vielleicht jemand helfen wollen, bitte? Ist mein Ansatz käse?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Di 17.05.2022 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f: \mathbb{C}\to\mathbb{C}[/mm] eine nicht-konstante ganze
> Funktion.Zeigen Sie die Äquivalenz der folgende Aussagen
> [mm](i)[/mm] [mm]f [/mm]ist ein Polynom.
> [mm](ii)[/mm] Es gibt Konstanten [mm]R_0,C,s>0[/mm] derart, dass
>
> [mm]f(\mathb{C} \setminus K_{R}(0)) \subset \mathbb{C}\setminus K_{CR^s}(0)[/mm]
>
> für alle [mm]R>R_0[/mm] gilt.
>
> [mm](iii)[/mm] Zu jedem [mm]R>0[/mm] exitiert ein [mm]R' >0[/mm] derart,dass
> [mm]f(\mathb{C} \setminus K_{R'}(0)) \subset \mathbb{C}\setminus K_{R}(0)[/mm]
>
> Hallo,
>
> Die Beweisstrategie, die ich anwenden möchte, ist der
> Ringschluss. Das heißt, dass ich zeige werden, dass [mm](i) \Rightarrow (ii) \Rightarrow (iii) \Rightarrow (i)[/mm]
> gilt.
>
> 1. [mm](i) \Rightarrow (ii)[/mm]
> Wir haben als Voraussetzung, dass
> [mm]f[/mm] eine nicht-konstante ganze Funktion und [mm]f[/mm] ist ein
> Polynom. Sei nun [mm]f(z)=\sum_{j=0}^{n} a_j \cdot z^j \in \mathbb{C}[z][/mm]
> ein nicht konstantes Polynom vom Grad n. Laut meinen Skript
> sind dann mit dem Fundamentalsatz der Algebra zwei Aussagen
> in diesem Setting äquivalent:
>
> [mm](1)[/mm][mm]f(z)[/mm] hat eine Nullstelle in [mm]\mathbb{C}[/mm]
> [mm](2)[/mm]Es gibt [mm]b_1,...,b_n \in \mathbb{C}[/mm] mit der Eigenschaft
> [mm]f(z)= a_n \produkt_{j=1}^{n}(z-b_i)[/mm].
>
> Nun folgere ich mit Hilfe des Satzes, dass [mm]f(z)[/mm] eine
> Nullstelle [mm]z \in \mathbb{C}[/mm] mit [mm]f(z)=0[/mm]hat.
> Ich wollte nun irgendwie [mm]K_R(0)[/mm] ins Spiel bringen, weiß
> aber nicht wie..
>
> Würde mir vielleicht jemand helfen wollen, bitte? Ist
> mein Ansatz käse?
Ja, leider. Ich gebe Dir mal einen Hinweis. $f$ sei ein nichtkonstantes Polynom .
Dann gilt $f(z)= [mm] a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0$, [/mm] wobei $n [mm] \ge [/mm] 1$, [mm] a_j \in \IC [/mm] und [mm] a_n \ne [/mm] 0.
Somit [mm] $f(z)=z^n [/mm] ( [mm] a_n+ \frac{a_{n-1}}{z}+....+\frac{a_{0}}{z^n}).$
[/mm]
Die Funktion in der Klammer nennen wir $g$.
Dann gilt: $g(z) [mm] \to a_n$ [/mm] für $|z| [mm] \to \infty.$ [/mm] Also
$|f(z)| [mm] \to \infty$ [/mm] für $|z| [mm] \to \infty.$
[/mm]
D. h. : Ist $R>0$, so gibt es ein $R' >0$ mit
$|f(z)| [mm] \ge [/mm] R$ für $|z| [mm] \ge [/mm] R'$.
Damit gilt $(iii).$
|
|
|
|
