nicht messbare Funktion < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Di 26.10.2010 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel für zwei messbare Räume (X, [mm] \mathcal{A} [/mm] ) und (Y, [mm] \mathcal{B} [/mm] ) und eine Funktion $ f: X [mm] \to [/mm] Y $ an, die nicht in [mm] \mathcal{A}-\mathval{B}-messbar [/mm] ist. |
Hallo,
nach kleine INternetrecherche habe ich gemerkt, dass es sehr schwer ist eine nicht-messbare Menge zu finden.
Ich bin immer wieder auf die Vitali-Menge gestoßen, aber auch immer im Zusammenhang mit der Lebesgue-Messbarkeit.
und soweit bin ich ja noch gar nicht, also es reicht mir ja eine nicht messbare Funktion zu finden, nach den Bedingungen oben.
gibt es da vielleicht einfachere, offensichtlichere, die ich nur nicht sehe?
Vielen Dank für jede Hilfe...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Di 26.10.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo cmueller,
> Geben Sie ein Beispiel für zwei messbare Räume (X,
> [mm]\mathcal{A}[/mm] ) und (Y, [mm]\mathcal{B}[/mm] ) und eine Funktion [mm]f: X \to Y[/mm]
> an, die nicht in [mm]\mathcal{A}-\mathval{B}-messbar[/mm] ist.
> Hallo,
>
> nach kleine INternetrecherche habe ich gemerkt, dass es
> sehr schwer ist eine nicht-messbare Menge zu finden.
> Ich bin immer wieder auf die Vitali-Menge gestoßen, aber
> auch immer im Zusammenhang mit der Lebesgue-Messbarkeit.
> und soweit bin ich ja noch gar nicht, also es reicht mir
> ja eine nicht messbare Funktion zu finden, nach den
> Bedingungen oben.
>
> gibt es da vielleicht einfachere, offensichtlichere, die
> ich nur nicht sehe?
Es geht hier gar nicht um die Messbarkeit von Mengen, sondern um die Messbarkeit der Funktion 
Deine Messräume [mm] $(X,\mathcal{A})$, $(Y,\mathcal{B})$ [/mm] können per Definition nur messbare Mengen enthalten.
Schau' nochmal nach (oder frag' nach), was die Messbarkeit von Funktionen bedeutet.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Di 26.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Nimm mal [mm] $X=Y=\{1,2\}$, [/mm] $ [mm] \mathcal{A} [/mm] = [mm] \{X, \emptyset\}$ [/mm] und $ [mm] \mathcal{B} [/mm] = $Potenzmenge von X
Weiter sei $ f: X [mm] \to [/mm] X $ definiert durch
f(1):=2 und f(2):= 1
Ist f $ [mm] \mathcal{A}-\mathcal{B}-$ [/mm] messbar ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Di 26.10.2010 | | Autor: | cmueller |
Hallo zusammen =)
schonmal tausend Dank für die Antworten, ich war durch diese ganze Mengen/Funktionen Geschichte sehr verwirrt.
> Nimm mal [mm]X=Y=\{1,2\}[/mm], [mm]\mathcal{A} = \{X, \emptyset\}[/mm] und
> [mm]\mathcal{B} = [/mm]Potenzmenge von X
>
> Weiter sei [mm]f: X \to X[/mm] definiert durch
>
> f(1):=2 und f(2):= 1
>
> Ist f [mm]\mathcal{A}-\mathcal{B}-[/mm] messbar ?
>
> FRED
>
>
Ich habe also deine Vorgaben und weiß dass $f$ [mm] \mathcal{A}-\mathcal{B}-messbar [/mm] ist, wenn:
[mm] \forall [/mm] B [mm] \in \mathcal{B} [/mm] : [mm] $f^{-1}(B) \in \mathcal{A}
[/mm]
da [mm] \mathcal{B} [/mm] ja [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] ist, und X ja nicht so groß ist, kann ich [mm] \mathcal{P} [/mm] (X) ja mal aufschreiben, das wäre:
[mm] \mathcal{B} [/mm] = [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] = [mm] \{\emptyset, \{1,2\}, \{1\}, \{2\} \}
[/mm]
hoffe ich habe nichts vergessen, die gesamte Menge ist drin, die leere Menge und alle Teilmengen.
gut und jetzt muss also für alle beliebigen B aus eben dieser Menge gelten, dass [mm] $f^{-1} [/mm] (B) [mm] \in \mathcal [/mm] {A} $
Da aber [mm] \mathcal [/mm] {A} = [mm] \{\emptyset, \{1,2\}\}
[/mm]
sieht man doch sofort, dass die Vorausetzung für B = [mm] \{1\} [/mm] oder [mm] B=\{2\} [/mm] nicht gilt.
Und damit wäre ein beispiel für eine Funktion gefunden die nicht [mm] \mathcal {A}-\mathcal{B}-messbar [/mm] ist.
Fred,sag mir, dass du darauf hinaus wolltest, bitte ;)
Ich denke ich muss nichts extra beachten bezüglich des [mm] f^{-1} [/mm] weil die Abbildung ja X [mm] \to [/mm] X gesetzt ist. oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Di 26.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen =)
>
> schonmal tausend Dank für die Antworten, ich war durch
> diese ganze Mengen/Funktionen Geschichte sehr verwirrt.
>
> > Nimm mal [mm]X=Y=\{1,2\}[/mm], [mm]\mathcal{A} = \{X, \emptyset\}[/mm] und
> > [mm]\mathcal{B} = [/mm]Potenzmenge von X
> >
> > Weiter sei [mm]f: X \to X[/mm] definiert durch
> >
> > f(1):=2 und f(2):= 1
> >
> > Ist f [mm]\mathcal{A}-\mathcal{B}-[/mm] messbar ?
> >
> > FRED
> >
> >
>
> Ich habe also deine Vorgaben und weiß dass [mm]f[/mm]
> [mm]\mathcal{A}-\mathcal{B}-messbar[/mm] ist, wenn:
>
> [mm]\forall[/mm] B [mm]\in \mathcal{B}[/mm] : [mm]$f^{-1}(B) \in \mathcal{A}[/mm]
>
> da [mm]\mathcal{B}[/mm] ja [mm]\mathcal{P}(X)[/mm] ist, und X ja nicht so
> groß ist, kann ich [mm]\mathcal{P}[/mm] (X) ja mal aufschreiben,
> das wäre:
>
> [mm]\mathcal{B}[/mm] = [mm]\mathcal{P}(X)[/mm] = [mm]\{\emptyset, \{1,2\}, \{1\}, \{2\} \}[/mm]
>
> hoffe ich habe nichts vergessen, die gesamte Menge ist
> drin, die leere Menge und alle Teilmengen.
>
> gut und jetzt muss also für alle beliebigen B aus eben
> dieser Menge gelten, dass [mm]f^{-1} (B) \in \mathcal {A}[/mm]
> Da
> aber [mm]\mathcal[/mm] {A} = [mm]\{\emptyset, \{1,2\}\}[/mm]
> sieht man doch
> sofort, dass die Vorausetzung für B = [mm]\{1\}[/mm] oder [mm]B=\{2\}[/mm]
> nicht gilt.
>
> Und damit wäre ein beispiel für eine Funktion gefunden
> die nicht [mm]\mathcal {A}-\mathcal{B}-messbar[/mm] ist.
>
> Fred,sag mir, dass du darauf hinaus wolltest, bitte ;)
genau darauf wollte ich hinaus
FRED
>
> Ich denke ich muss nichts extra beachten bezüglich des
> [mm]f^{-1}[/mm] weil die Abbildung ja X [mm]\to[/mm] X gesetzt ist. oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Di 26.10.2010 | | Autor: | cmueller |
:D Tausend Dank!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Di 26.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Mit der Vitali-Menge bekommst Du natürlich auch ein Beispiel:
nach Vitali ex. eine Teilmenge C von [mm] \IR [/mm] , die nicht Borel messbar ist.
Ist $ [mm] \mathcal{B} [/mm] $ die Borel - [mm] \sigma [/mm] -Algebra auf [mm] \IR, [/mm] so ist die charakteristische Funktion von C nicht $ [mm] \mathcal{B} [/mm] $- $ [mm] \mathcal{B} [/mm] $ messbar.
FRED
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