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| Aufgabe | Gegeben sei die natürliche Zahl [mm] z=2^{256}-1.
[/mm]
a) Bestimmen Sie 11 verschiedene nichttriviale Teiler von z.
b) Bestimmen Sie 4 Primzahlen, die Teiler von z sind.
c) Bestimmen Sie eine natürliche Zahl n so, dass [mm] 10^{n}\le [/mm] z [mm] \le 10^{n+1} [/mm] gilt. |
Ein bisschen rumprobiert hab ich schon und so durch probieren 8 Teiler gefunden.
a) 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257 Meine Vermutung: man kann eine Folge bilden um die einzelnen Teiler herauszufinden, aber mir gelingt es nicht ein durchgängiges System zu entdecken.
b) 3, 5, 17, 257 --> sind komplett, steht nicht dabei, dass wir einen Rechenweg liefern müssen, wäre aber vermutlich besser. Auch hier das Problem eine Folge aufzustellen anhand derer sich die Primzahlen ermitteln ließen.
Kann mir einer sagen wo das systematische hinter den obigen Zahlen liegt und wie man dann eine Folge aufstellt.
Danke
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Hallo anjali251,
> Gegeben sei die natürliche Zahl [mm]z=2^{256}-1.[/mm]
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> a) Bestimmen Sie 11 verschiedene nichttriviale Teiler von
> z.
> b) Bestimmen Sie 4 Primzahlen, die Teiler von z sind.
> c) Bestimmen Sie eine natürliche Zahl n so, dass [mm]10^{n}\le[/mm]
> z [mm]\le 10^{n+1}[/mm] gilt.
> Ein bisschen rumprobiert hab ich schon und so durch
> probieren 8 Teiler gefunden.
>
> a) 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257 Meine Vermutung: man kann
> eine Folge bilden um die einzelnen Teiler herauszufinden,
> aber mir gelingt es nicht ein durchgängiges System zu
> entdecken.
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> b) 3, 5, 17, 257 --> sind komplett, steht nicht dabei, dass
> wir einen Rechenweg liefern müssen, wäre aber vermutlich
> besser. Auch hier das Problem eine Folge aufzustellen
> anhand derer sich die Primzahlen ermitteln ließen.
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> Kann mir einer sagen wo das systematische hinter den obigen
> Zahlen liegt und wie man dann eine Folge aufstellt.
z kann man gemäß der 3. binomischen Formel so schreiben:
[mm]z=2^{256}-1=\left(2^{128}-1\right)*\left(2^{128}+1\right)[/mm]
Und dasselbe Spiel wieder mit [mm]2^{128}-1[/mm]
[mm]2^{128}-1=\left(2^{64}-1\right)*\left(2^{64}+1\right)[/mm]
Das geht jetzt so weiter, bis [mm]2^{2^{0}}-1[/mm]
>
> Danke
Gruß
MathePower
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Und wie komme ich jetzt auf die nichttrivialen Teiler? Ich kann den Zusammenhang nicht erkennen - Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Do 01.01.2009 | | Autor: | pelzig |
Wenn du die Primfaktorzerlegung von [mm] 2^{256}-1 [/mm] kennst, kannst du doch leicht alle Teiler angeben:
ist [mm] $z=\prod_{i=1}^np_i^{\alpha_i}$ [/mm] für Primzahlen [mm] $p_i$, [/mm] dann ist die Menge aller Teiler [mm] $T(z)=\left\{\prod_{i=1}^np_i^{\beta_i}|0\le\beta_i\le\alpha_i\right\}$. [/mm] insbesondere ist [mm] $|T(z)|=\prod_i(\alpha_i+1)$.
[/mm]
Gruß, Robert
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