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| Aufgabe | | Sei A [mm] \in M_(n\times n)(\IR) [/mm] nilpotent. Zeigen Sie, dass dann die Matrix [mm] 1_(n\times [/mm] n) - A invertierbar ist. |
Bsp.:
Sei [mm] A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}. [/mm] Dann ist [mm] A^2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}.
[/mm]
=> A ist nilpotent.
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Damit (irgend)eine Matrix M nilpotent ist, muss spur(M)=0 sein. Dadurch kann also entsprechend die Hauptdiagonale der Einheitsmatrix nicht verändert werden, wenn man von dieser eine nilpotente Matrix abzieht. Also ist in jedem Fall [mm] det(M)\not=0 [/mm] und M somit invertierbar. Soweit meine Gedanken.
Nun habe ich jedoch folgendes Problem: Zum einen dürfte dies noch nicht als Beweis durchgehen, zum anderen haben wir weder die Spur noch die Determinante eingeführt, dürfen beides dementsprechend nicht benutzen.
Könnt ihr mir Tipps geben, wie ich den Beweis verallgemeinern kann und er gleichzeitig recht einfach gehalten ist?
Besten Dank im Voraus!
B.
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 So 22.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Sei $A$ ist nilpotent, d.h. [mm] $A^n=0$ [/mm] für ein [mm] $n\in\IN$. [/mm] Jetzt guck doch mal was passiert wenn du [mm] $\left(\sum_{i=0}^{n-1}A^i\right)$ [/mm] mit $(1-A)$ multiplizierst...
Gruß, Robert
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kommt dann nicht [mm] (-A^n) [/mm] raus, also die Nullmatrix? Inwieweit hilft mir das weiter, um die Invertierbarkeit zu überprüfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Mo 23.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> kommt dann nicht [mm](-A^n)[/mm] raus, also die Nullmatrix?
Nein, rechne nochmal...
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Mi 25.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Nur mal so: Da kommt die Einheitsmatrix raus. Ich kann mir keinen elgeanteren Weg vorstellen die Invertierbarkeit von A zu zeigen...
Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Mi 25.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Nur mal so: Da kommt die Einheitsmatrix raus. Ich kann mir
> keinen elgeanteren Weg vorstellen die Invertierbarkeit von
> A zu zeigen...
Hallo Robert,
Dein Weg ist durchaus elegant. Meiner ( https://matheraum.de/read?i=620889) ist aber auch nicht übel
FRED
>
> Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Mi 25.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Ich versteh nicht wie folgt daraus die Invertierbarkeit von I-A?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:28 Do 26.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich versteh nicht wie folgt daraus die Invertierbarkeit von
> I-A?
Wenn A nur den Eigenwert 0 hat, so ist jedenfalls 1 kein Eigenwert von A, also ist I-A invertierbar !
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Do 26.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Stimmt, das ist natürlich auch nett 
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] $A^n=0$ [/mm] . Ist s ein Eigenwert von A, so gibt es ein x [mm] \not=0 [/mm] mit
$Ax=sx$
Es folgt:
$A^nx=sx$
also $sx=0$ und somit s = 0. Damit hat A nur den Eigenwert 0.
Hilft das ?
FRED
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