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Hallo Leute.
Ich habe da eine Frage an der ich schon eine weile sitze:
Sei K ein Körper und n [mm] \in \IN. [/mm] Eine n [mm] \times [/mm] n - Matrix A überK heißt nilpotent, falls es ein k [mm] \in \IN [/mm] gibt mit [mm] A^k [/mm] = 0.
Ich soll jetzt beweisen, dass für eine komplexe Matrix gilt:
(a) A ist nilpotent genau dann, wenn 0 der einzige Eigenwert ist.
(b) Ist A nilpotent, so ist [mm] A^n [/mm] = 0.
(c) Ist A nilpotent, dann sind die Spuren [mm] tr(A^p) [/mm] = 0 für alle p [mm] \in [/mm] {1,....,n}.
Ich habe keine Ahnung wie ich die Punkte beweisen soll.
Wäre sehr erfreut über eure Hilfe.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Do 23.06.2005 | | Autor: | SEcki |
Ich werde im folgenden echer Stichpunktartig ein paar Ideen sammeln.
> (a) A ist nilpotent genau dann, wenn 0 der einzige
> Eigenwert ist.
Gibt es einen EW ungleich 0 - na dann ist A sicher nicht nilpotent (warum?). Andererseits: das char. Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren, da die komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen sind.
> (b) Ist A nilpotent, so ist [mm]A^n[/mm] = 0.
Tja, 0 ist der einzige EW, da kann man doch mit Haupraumzerlegung etwas amchen, oder?
> (c) Ist A nilpotent, dann sind die Spuren [mm]tr(A^p)[/mm] = 0 für
> alle p [mm]\in[/mm] {1,....,n}.
Da gbit es so eine schöne Formel für das char. Polynom im Zusammenhang mit der Spur und der Deterimante als Koeffizienten.
Kommst du mit den Tips weiter?
SEcki
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