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| Aufgabe | Berechnen Sie näherungsweise durch die Verwendung von TAYLOR-Polynomen zweiter Ordnung die folgenden Werte:
a) [mm]x^{2}[/mm] x=1,05
b) [mm]\wurzel{x}[/mm] x=1,02
c) [mm] \bruch{1}{x} [/mm] x=1,01
Welche Entwicklungsstelle bietet sich an? |
Hallo,
ich hab da mal ein paar Fragen:
Wie finde ich den die geeignete Entwicklungsstelle?
Wenn ich bspw. bei [mm]x_0 = 1[/mm] wähle komme ich bei a) auf [mm]f''(1)=2[/mm] ist das nicht ein Widerspruch?
Das Restglied hat ja die Form: [mm]R_n (x)=\bruch{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}*(x-x_0)^{n+1}[/mm]
Wie komme ich auf [mm]\xi[/mm]? Einfach auswählen zwischen [mm]x[/mm] und [mm]x_0[/mm]?
...und dann das [mm]\xi[/mm] (hier) in die dritte Ableitung von f(x) einsetzen und ausrechnen oder gibts da noch nen Hacken?
Was z.B. wenn wie hier bei a) die dritte Ableitung 0 wird?
besten dank
markus
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> Berechnen Sie näherungsweise durch die Verwendung von
> TAYLOR-Polynomen zweiter Ordnung die folgenden Werte:
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> a) [mm]x^{2}[/mm] x=1,05
> b) [mm]\wurzel{x}[/mm] x=1,02
> c) [mm]\bruch{1}{x}[/mm] x=1,01
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> Welche Entwicklungsstelle bietet sich an?
> Hallo,
>
> ich hab da mal ein paar Fragen:
>
> Wie finde ich den die geeignete Entwicklungsstelle?
Hallo,
da jeweils Werte gefragt sind, die dicht bei 1 liegen, würde ich die Stelle 1 als Entwicklungsstelle nehmen.
>
> Wenn ich bspw. bei [mm]x_0 = 1[/mm] wähle komme ich bei a) auf
> [mm]f''(1)=2[/mm] ist das nicht ein Widerspruch?
Wo ist der Widerspruch?
>
> Das Restglied ...
Dafür mußt Du die 3.Ableitung auch noch berechnen.
>
> Wie komme ich auf [mm]\xi[/mm]? Einfach auswählen zwischen [mm]x[/mm] und
> [mm]x_0[/mm]?
Du guckst Dir an, was mit dem Restglied passiert bei Einsetzen von Werten zwischen [mm]x[/mm] und [mm]x_0[/mm] und schätzt es ab.
> ...und dann das [mm]\xi[/mm] (hier) in die dritte Ableitung von
> f(x) einsetzen und ausrechnen oder gibts da noch nen
> Hacken?
Wie gesagt: dritte Ableitung berechnen, Restglied aufstellen und abschätzen für die [mm] \xi, [/mm] die infrage kommen.
>
> Was z.B. wenn wie hier bei a) die dritte Ableitung 0 wird?
Dann kannst Du Dich freuen.
Dann ist Dein zweites Taylorpolynom nicht eine Näherung, sondern exakt die Funktion.
Lös' doch die klammern in dem zweiten Taylorpolynom für [mm] x^2 [/mm] mal auf!
Gruß v. Angela
>
> besten dank
> markus
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also, wenn ich [mm]x_0=1[/mm] wähle komme ich bei a) auf die Näherung
[mm]f(x)=x^2+2*x[/mm]
das macht für mich wenig sinn =/
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> also, wenn ich [mm]x_0=1[/mm] wähle komme ich bei a) auf die
> Näherung
> [mm]f(x)=x^2+2*x[/mm]
>
> das macht für mich wenig sinn =/
Nun schreib erstmal allgemein auf, wie das 2-te Taylorpolynom einer Funktion f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] (oder an der Stelle a, ganz nach Belieben) definiert ist.
Dann stell' die für das zweite Taylorpolynom notwendigen Ableitungen bereit.
Nun setzt in das aufgestellte Polynom ein. Beachte, daß Du die Stelle [mm] x_0=1 [/mm] bearbeiten willst.
Gruß v. Angela
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ok
[mm]f(x)=x^2[/mm] --> [mm]f(1)=1[/mm]
[mm]f'(x)=2*x[/mm] --> [mm]f'(1)=2[/mm]
[mm]f''(x)=2[/mm]-->[mm]f''(1)=2[/mm]
[mm]f(x)=1+\bruch{2}{1!}*(x-1)+\bruch{2}{2!}*(x-1)^2[/mm]
[mm]f(x)=x^{2}+2*x[/mm]
oder hab ich nen fehler drin?
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> oder hab ich nen fehler drin?
Ja, abr zum Glück nur etwas, was mit Schusselei zusammenhängt und nicht mit Unverständnis!
> [mm]f(x)=1+\bruch{2}{1!}*(x-1)+\bruch{2}{2!}*(x-1)^2[/mm]
> [mm]f(x)=x^{2}+2*x[/mm]
Gruß v. Angela
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mmmh irgendwie seh ich den fehler nicht =/
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Rechne es vor!
Dann zeig' ich ihn Dir.
>>$ [mm] f(x)=1+\bruch{2}{1!}\cdot{}(x-1)+\bruch{2}{2!}\cdot{}(x-1)^2 [/mm] $
ist zu berechnen.
Berechne [mm] \bruch{2}{1!}\cdot{}(x-1)=2(x-1)=...
[/mm]
und [mm] \bruch{2}{2!}\cdot{}(x-1)^2=(x-1)^2=...
[/mm]
Gruß v. Angela
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oh man binomische formeln...ich idiot
[mm]f(x)=x^{2}[/mm]
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