nochmal ober/untersumme < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | | Berechnen sie [mm] \integral_{1}^{3}{x^{2}-1 dx} [/mm] direkt mit Obersumme und Untersumme |
Hallo!
Ich vermute mal, dass diese "einfache" aufgabe mir das ganze nochmal etwas verständlicher macht
Ich habe mir überlegt, dass für n unterteilungen ja für die breite gelten müsste
[mm] \Delta [/mm] h = [mm] \bruch{3-1}{n}
[/mm]
Für die Obersummen müsste ja gelten
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{x=1}^{n} (x^{2}-1) [/mm] * [mm] \bruch{2}{n}
[/mm]
und für die Untersummen wäre es dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{x=1}^{n} (x^{2}) [/mm] * [mm] \bruch{2}{n}
[/mm]
Wäre das so korrekt?
Oder funktioniert das doch anders?
danke für die Hilfe!
katja
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> Berechnen sie [mm]\integral_{1}^{3}{\red{(}x^{2}-1\red{)}\ dx}[/mm] direkt mit
> Obersumme und Untersumme
> Hallo!
>
> Ich vermute mal, dass diese "einfache" aufgabe mir das
> ganze nochmal etwas verständlicher macht
>
> Ich habe mir überlegt, dass für n unterteilungen ja für
> die breite gelten müsste
>
> [mm]\Delta[/mm] h = [mm]\bruch{3-1}{n}[/mm]
Diese Breite der einzelnen Teilintervalle bezeichnet
man üblicherweise mit h oder mit [mm] \Delta{x} [/mm] (aber nicht mit [mm] \Delta{h})
[/mm]
> Für die Obersummen müsste ja gelten
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{x=1}^{n} (x^{2}-1)*\bruch{2}{n}[/mm]
>
> und für die Untersummen wäre es dann:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{x=1}^{n} (x^{2})*\bruch{2}{n}[/mm]
>
> Wäre das so korrekt?
> Oder funktioniert das doch anders?
Naja, etwas anders:
die zu betrachtenden x-Werte sind nicht die
ganzen Zahlen von 1 bis n, sondern
$\ [mm] x_0=a=1\ [/mm] ,\ [mm] x_1=x_0+h\ [/mm] ,\ [mm] \,.....\,,\ x_k=x_0+k*h\ [/mm] ,\ [mm] \,.....\,\ [/mm] ,\ [mm] x_n=b=3$
[/mm]
Es gibt n Teilintervalle der Breite [mm] h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-1}{n}=\frac{2}{n}
[/mm]
Das k-te Teilintervall reicht von $\ [mm] x_{k-1}$ [/mm] bis $\ [mm] x_k$
[/mm]
$\ [mm] (k\in\{1,2,3,\,.....\,,\,n\})$
[/mm]
Für das k-te Rechteck der Obersumme muss man,
da die Funktion f auf dem ganzen Integrationsinter-
vall streng monoton steigend ist, den y-Wert der
rechten oberen Rechtecksecke als Höhe nehmen,
also den Funktionswert an der Stelle [mm] x_k. [/mm] Dieses
Rechteck Nummer k hat also den Flächeninhalt
[mm] A_k=Breite*Hoehe=h*f(x_k). [/mm] Die Obersumme ist dann
[mm] OS=\summe_{k=1}^{n}A_k
[/mm]
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm ok das leuchtet mit größtenteils ein.
nur noch 2 fragen dazu,
wie ist dann [mm] f(x_k) [/mm] definiert?
und wie lautet dann die Formulierung mit dem Limes jeweils für Ober und Untersumme.
Ich liege richtig wenn die Untersumme dann:
[mm] \summe_{k=1}^{n} A_k-1 [/mm] ist?
danke für die hilfe!
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'n Abend Katja,
> hm ok das leuchtet mir größtenteils ein.
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> nur noch 2 fragen dazu,
> wie ist dann [mm]f(x_k)[/mm] definiert?
Eigentlich wollte ich das Einsetzen in die Formeln dir
überlassen.
$\ [mm] x_k\ [/mm] =\ [mm] x_0+k*h\ [/mm] =\ [mm] 1+\frac{2\,k}{n}$
[/mm]
$\ [mm] f(x_k)\ [/mm] =\ [mm] {x_k}^2-1\ [/mm] =\ [mm] \left(1+\frac{2\,k}{n}\right)^2-1\ [/mm] =\ [mm] \frac{4\,k}{n}+\frac{4\,k^2}{n^2}$
[/mm]
> und wie lautet dann die Formulierung mit dem Limes jeweils
> für Ober und Untersumme.
Für den Limes der Obersummen:
$\ [mm] \limes_{n\to\infty}OS_n\ [/mm] =\ [mm] \limes_{n\to\infty}\summe_{k=1}^{n}\frac{2}{n}*\left(\frac{4\,k}{n}+\frac{4\,k^2}{n^2}\right)$
[/mm]
$\ =\ [mm] \limes_{n\to\infty}\left(\frac{8}{n^2}*\summe_{k=1}^{n}k+\frac{8}{n^3}*\summe_{k=1}^{n}k^2\right)$
[/mm]
> Ich liege richtig wenn die Untersumme dann:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} A_k-1[/mm] ist?
hier hast du vergessen, den Index in geschweifte Klammern
zu setzen. Es muss heißen:
$\ [mm] US_n\ [/mm] =\ [mm] \summe_{k=1}^{n} A_{k-1}$
[/mm]
Man kann dies auch so schreiben:
$\ [mm] US_n\ [/mm] =\ [mm] \summe_{k=0}^{n-1} A_{k}$
[/mm]
> danke für die hilfe!
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
danke fürs einsetzen!
ich denke nun kann ich ähnliche aufgaben alleine lösen!
vielen dank für die sehr ausführliche hilfe, war sehr verständlich erklärt obwohl der schlauch auf dem ich zur zeit stehe endlos zu sein scheint;)
schönen abend noch!
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> danke fürs einsetzen!
>
> ich denke nun kann ich ähnliche aufgaben alleine lösen!
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> vielen dank für die sehr ausführliche hilfe, war sehr
> verständlich erklärt obwohl der schlauch auf dem ich zur
> zeit stehe endlos zu sein scheint;)
>
> schönen abend noch!
Bei einem sehr langen, dünnen Schlauch würde ein
Schritt quer zu seiner Richtung genügen, um ihn
frei zu machen. Einen sehr dicken Schlauch kannst
du kaum verschließen, auch wenn du drauf stehst 
Gruß Al
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