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also..ich hoffe diesmla ist es einleuchtend was ich schreibe;O)
Wir haben die definition für Stetigkeit:
[mm] \parallel x\parallel_x \le \delta \Rightarrow \parallel Tx\parallel_y \le \varepsilon
[/mm]
Setze [mm] \varepsilon [/mm] = 1:
[mm] \parallel x\parallel_x \le \delta \Rightarrow \parallel Tx\parallel_y \le [/mm] 1
Warum folgt nun folgendes daraus?
[mm] \parallel(\bruch{\delta}{\parallel x\parallel_x}*x)\parallel [/mm] = [mm] \delta
[/mm]
daraus folgt dann mit der Stetigkeitsdefinition von oben mit [mm] \varepsilon [/mm] =1:
[mm] 1\ge \parallel(\bruch{\delta}{\parallel x\parallel_x}*Tx)\parallel [/mm]
= [mm] \bruch{\delta}{\parallel x\parallel_x}*\parallel [/mm] Tx [mm] \parallel_y
[/mm]
Könnt ihr mir helfen?Ist es vernünftig, lesbar aufgeschrieben?
Danke im Voraus...Sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:02 So 03.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sandra!
> also..ich hoffe diesmla ist es einleuchtend was ich
> schreibe;O)
> Wir haben die definition für Stetigkeit:
> [mm]\parallel x\parallel_x \le \delta \Rightarrow \parallel Tx\parallel_y \le \varepsilon[/mm]
Also wenn du noch [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 :$ davorschreibst, dann ist es die Definition von Stetigkeit. (Und selbst dann ist es die Stetigkeit im Nullpunkt, was fuer lineare Abbildungen ja aequivalent zur Stetigkeit ueberall ist.)
> Setze [mm]\varepsilon[/mm] = 1:
> [mm]\parallel x\parallel_x \le \delta \Rightarrow \parallel Tx\parallel_y \le[/mm]
> 1
>
> Warum folgt nun folgendes daraus?
> [mm]\parallel(\bruch{\delta}{\parallel x\parallel_x}*x)\parallel[/mm]
> = [mm]\delta[/mm]
Das folgt nicht aus dem obigen, sondern diese Aussage stimmt immer, wenn $x [mm] \neq [/mm] 0$ und [mm] $\delta \ge [/mm] 0$ ist! Es ist naemlich [mm] $\left\| \frac{\delta}{\| x \|_X} x \right\|_X [/mm] = [mm] \frac{\delta}{\| x \|_X} \cdot \left\| x \right\|_X [/mm] = [mm] \delta$, [/mm] da man Skalare [mm] $\ge [/mm] 0$ aus der Norm rausziehen kann.
> daraus folgt dann mit der Stetigkeitsdefinition von oben
> mit [mm]\varepsilon[/mm] =1:
> [mm]1\ge \parallel(\bruch{\delta}{\parallel x\parallel_x}*Tx)\parallel[/mm]
Warum sollte das gelten? Du hast $1 [mm] \ge \| [/mm] T x [mm] \|_Y$ [/mm] und $1 [mm] \le \frac{\delta}{\| x \|_X}$. [/mm] Und wenn du das zusammenmultiplizierst, dann bekommst du zwar auf der linken Seite 1 und auf der rechten Seite [mm] $\left\| \frac{\delta}{\| x \|_X} \cdot T x \right\|_Y$, [/mm] aber du bekommst weder [mm] $\le$, $\ge$ [/mm] noch $=$ dazwischen!
Wo hast du denn her, dass das daraus folgen soll?
> = [mm]\bruch{\delta}{\parallel x\parallel_x}*\parallel[/mm] Tx [mm]\parallel_y[/mm]
LG Felix
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ich habe das aus einemScript der Uni Zürich.
mhm..langsam verzweifle ich wirklich;)
vielleicht, ist es so, weil
[mm] \parallel(\bruch{\delta}{\parallel x\parallel_x}*x)\parallel
[/mm]
= [mm] \frac{\delta}{\| x \|_X} \cdot \left\| x \right\|_X=\delta
[/mm]
und
laut Definition folgt ja aus [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_x \le \delta \Rightarrow
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] Tx [mm] \parallel_y \le [/mm] 1...
Vielleicht(naja, ich gebe es zu, ich habe NULL Ahnung und spekuliere;))
folgt dann aus
[mm] \frac{\delta}{\| x \|_X} \cdot \left\| x \right\|_X [/mm] , wenn man statt [mm] \left\| x \right\|_X [/mm] , nun [mm] \left\| Tx \right\|_y [/mm] hat, dass der term dann eben nicht mehr gleich [mm] \delta, [/mm] sondern eben [mm] \le [/mm] 1 ist.
anonsten bin ich aber mit meinem Latein(naja besser mit meinem evtl.mal vorhandenen mathematischem Wissen am Ende)
Vielleicht hat ja noch jemand eine Idee...
Danke trotz allem;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 So 03.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sandra,
> ich habe das aus einemScript der Uni Zürich.
> mhm..langsam verzweifle ich wirklich;)
gib doch mal die URL zu dem Skript sag, wo man dass da findet (Seitenzahl, wo ungefaehr auf der Seite).
LG Felix
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www.math.ethz.ch/~gruppe5/ group5/lectures/analysis/ss05/script1.pdf
Es geht um den Beweis zu Lemma 2 auf Seite 4.
Vielleicht habe ich ja irgendwas übersehen....aber..ich meine nicht!Danke für deine Bemühungen;)
Lg Sandra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 So 03.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich habe das aus einemScript der Uni Zürich.
> mhm..langsam verzweifle ich wirklich;)
Das Skript ist uebrigens von der ETH Zuerich, und das ist nicht die Universitaet Zuerich. (Jedoch sind sie beide Universitaeten in Zuerich.)
Und ich seh grad, eigentlich ist das ja ganz einfach. Da [mm] $\left\| \frac{\delta}{\| x \|_X} x \right\|_X [/mm] = [mm] \delta$, [/mm] ist [mm] $\left\| T \left(\frac{\delta}{\| x \|_X} x\right) \right\|_Y \le [/mm] 1$. Nun ist [mm] $\left\| T \left(\frac{\delta}{\| x \|_X} x\right) \right\|_Y [/mm] = [mm] \| \frac{\delta}{\| x \|_X} [/mm] T x [mm] \|_Y$, [/mm] da $T$ linear ist. Damit steht sofort die Ausage da...
LG Felix
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Hey super..Vielen Dank!!
Noch schöner wäre es natürlich, wenn ich solche Sachen mal selber sehen würde..;))
Schönen Abend und man sieht sich bei meinen nächsten Fragen;)
Lg Sandra
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Mhm, wobei nochma ne kurze Frage:
$ [mm] \left\| T \left(\frac{\delta}{\| x \|_X} x\right) \right\|_Y [/mm] = [mm] \| \frac{\delta}{\| x \|_X} [/mm] T x [mm] \|_Y [/mm] $
Das ist doch so, weil [mm] \frac{\delta}{\| x \|_X} [/mm] ein Skalar ist, oder?
Schönes Wochenende
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 So 03.09.2006 | | Autor: | felixf |
> Mhm, wobei nochma ne kurze Frage:
>
> [mm]\left\| T \left(\frac{\delta}{\| x \|_X} x\right) \right\|_Y = \| \frac{\delta}{\| x \|_X} T x \|_Y[/mm]
>
> Das ist doch so, weil [mm]\frac{\delta}{\| x \|_X}[/mm] ein Skalar
> ist, oder?
Genau.
> Schönes Wochenende
Dir auch!
LG Felix
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