normale Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:55 Do 14.05.2009 | | Autor: | eppi1981 |
| Aufgabe | [mm] (G,\circ) [/mm] sei eine Gruppe, [mm] (H,\circ) [/mm] sei eine Untergruppe der Gruppe [mm] (G,\circ) [/mm] und [mm] (U,\circ) [/mm] sei eine normale Untergruppe der Gruppe [mm] (G,\circ) [/mm] .
Zeigen Sie, dass (H [mm] \cap U,\circ) [/mm] eine normale Untergruppe der Gruppe [mm] (H,\circ) [/mm] ist. |
Ich brauche einen Tipp.
|
|
| |
|
> [mm](G,\circ)[/mm] sei eine Gruppe, [mm](H,\circ)[/mm] sei eine Untergruppe
> der Gruppe [mm](G,\circ)[/mm] und [mm](U,\circ)[/mm] sei eine normale
> Untergruppe der Gruppe [mm](G,\circ)[/mm] .
> Zeigen Sie, dass (H [mm]\cap U,\circ)[/mm] eine normale Untergruppe
> der Gruppe [mm](H,\circ)[/mm] ist.
> Ich brauche einen Tipp.
Hallo,
und wir brauchen ein Lösungsansatz von Dir.
Z.B. sowas:
Was ist eine normale Untergruppe einer Gruppe?
Was bedeutet es, daß U eine Untergruppe ist?
Was muß man zeigen, wenn man zeigen will, daß (H [mm]\cap U,\circ)[/mm] eine normale Untergruppe von [mm](H,\circ)[/mm] ist?
Wenn man das herausgesucht hat, kann man einen ersten Beweisversuch unternehmen. Wie sieht der bei Dir aus, und wo liegt das Problem?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Do 14.05.2009 | | Autor: | eppi1981 |
zu 1. eine normale Untergruppe (U, [mm] \circ) [/mm] der Gruppe (G, [mm] \circ) \Rightarrow
[/mm]
[mm] g^{-1}ug \in [/mm] U [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G, u [mm] \in [/mm] U
zu 2. (U, [mm] \circ) [/mm] ist eine Untergruppe [mm] \Rightarrow
[/mm]
1. a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] U;
2. e [mm] \in [/mm] U und e [mm] \in [/mm] G
3. Es gibt [mm] a^{-1} \in [/mm] U [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] U
|
|
|
| |
|
> zu 1. eine normale Untergruppe (U, [mm]\circ)[/mm] der Gruppe (G,
> [mm]\circ) \Rightarrow[/mm]
>
U ist Untergruppe und
> [mm]g^{-1}ug \in[/mm] U [mm]\forall[/mm] g [mm]\in[/mm] G, u [mm]\in[/mm] U
>
> zu 2. (U, [mm]\circ)[/mm] ist eine Untergruppe [mm]\Rightarrow[/mm]
> 1. a,b [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\circ[/mm] b [mm]\in[/mm] U;
> 2. e [mm]\in[/mm] U und e [mm]\in[/mm] G
> 3. Es gibt [mm]a^{-1} \in[/mm] U [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] U
Hallo,
na, das ist ja schonmal ein bißchen etwas, wenn ich mir auch gewünscht hätte, daß Du nicht so wortkarg wärst, und auch einige sonstige Überlegungen zur Aufgabe mitgeteilt hättest.
Ich laß das Verknüpfungszeichen jetzt mal we, weil es imer gleich ist.
Wir haben:
eine Gruppe G
eine Untergruppe H von G
eine normale Untergruppe U von G.
Zeigen sollst Du, daß [mm] H\cap [/mm] U normale Untergruppe von H ist.
Das beinhaltet
1., daß [mm] H\cap [/mm] U eine Untergruppe von H ist.
Notiere, was hierfür zu zeigen ist - und zeige es dann.
Bedenke für den Beweis, daß jedes [mm] x\in H\cap [/mm] U sowohl in H als auch in U liegt.
2. daß für jedes [mm] h\in [/mm] H und für jedes [mm] x\in H\cap [/mm] U gilt [mm] h^{-1}xh\in H\cap [/mm] U.
Bedenke für den Beweis, daß jedes [mm] x\in H\cap [/mm] U sowohl in H als auch in U liegt,
und daß die Elemente von H natürlich auch welche von G sind.
Nun leg' los.
Bei Rückfragen poste bitte mit, was Du bisher getan hast.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Do 14.05.2009 | | Autor: | eppi1981 |
z.z. H [mm] \cap [/mm] U eine Untergruppe der Gruppe H ist.
1. Abgeschlossenheit
[mm] h_{1}h_{2} \in [/mm] H
[mm] \Rightarrow h_{1}h_{2}U \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] U
2. Assoziativität
[mm] (h_{1}U)[(h_{2}U)(h_{3}U)] =(h_{1}U)(h_{1}h_{2}U)=h_{1}(h_{2}h_{3})U=(h_{1}h_{2})h_{3}U=(h_{1}h_{2}U)(h_{3}U)=[(h_{1}U)(h_{2}U)](h_{3}U)
[/mm]
3. Existenz des neutralen Elements
U=eU [mm] \Rightarrow [/mm] (eU)(hU)=(eh)U=hU
4. Existenz der inversen Elemente
Das inverse Element von hU ist [mm] h^{-1}U, [/mm] denn [mm] (hU)(h^{-1}U) [/mm] = [mm] (hh^{-1})U [/mm] = eU = U.
z.z. Wohldefiniertheit
(aU)(bU) = (cU)(dU) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] H, [mm] \forall [/mm] c [mm] \in [/mm] aU, [mm] \forall [/mm] d [mm] \in [/mm] bU
[mm] \gdw [/mm] abU=cdU [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] H, [mm] \forall [/mm] c [mm] \in [/mm] aU, [mm] \forall [/mm] d [mm] \in [/mm] bU
[mm] \gdw abU=au_{1}bu_{2}U \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] H, [mm] \forall u_{1},u_{2} \in [/mm] U
[mm] \gdw bU=u_{1}bU \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] H, [mm] \forall u_{1} \in [/mm] U
[mm] \gdw U=b^{-1}u_{1}bU \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] H, [mm] \forall u_{1} \in [/mm] U
[mm] \gdw b^{-1}u_{1}b \in [/mm] U [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] H, [mm] \forall u_{1} \in [/mm] U
|
|
|
| |
|
> z.z. H [mm]\cap[/mm] U eine Untergruppe der Gruppe H ist.
Hallo,
ja, das muß gezeigt werden.
Was Du dazu tust, ist mir allerdings mehr als schleierhaft - man könnte es auch als Unfug bezeichnen.
Zunächst mal vergewissere Dich, daß H [mm]\cap[/mm] U eine Teilmenge von H ist. Ist Dir das klar?
> 1. Abgeschlossenheit
Du mußt hier zeigen, daß für sämtliche x,y [mm] \in [/mm] H [mm]\cap[/mm] U auch [mm] xy\in [/mm] H [mm]\cap[/mm] U liegt.
Was bedeutet es denn, wenn [mm] xy\in [/mm] H [mm]\cap[/mm] U ist? Es bedeutet: [mm] xy\in [/mm] H und [mm] xy\in [/mm] U.
Daß das so ist, mußt Du überzeugend darlegen.
Abgesehen davon, daß das, was Du in der Folge tust, auch nicht sinnvoll ist (ich will das jetzt nicht in Einzelheiten zerfpflücken) machst Du es Dir zu schwer:
Da Du die Untergruppeneigenschaft von H [mm]\cap[/mm] U zeigen willst, reicht es, wenn Du die Untergruppenkriterien nachweist.
Also neben H [mm]\cap[/mm] U [mm] \not=\emptyset [/mm] , H [mm]\cap[/mm] [mm] U\subseteq [/mm] H, wie besprochen die Abgeschlossenheit und außerdem, daß zu jedem Element aus H [mm]\cap[/mm] U auch sein Inverses in H [mm]\cap[/mm] U liegt.
> z.z. Wohldefiniertheit
Quatsch.
Wenn Du die Untergruppeneigenschaft hast, kommt wie im anderen Post die Eigenschaft, daß die Untergruppe normal ist, was zu zeigen ist, hatte ich ja schon gesagt.
Über Deinen Lösungsversuch schauend befürchte ich, daß Du keinen blassen Schimmer davon hast, was mit H [mm]\cap[/mm] U gemeint ist: in H [mm]\cap[/mm] U sind alle Elemente, die sowohl in H als auch in U liegen.
Das hat mit Rechts- oder Linksnebenklassen nichts zu tun.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Do 14.05.2009 | | Autor: | eppi1981 |
z.z. H $ [mm] \cap [/mm] $ U eine Untergruppe der Gruppe H ist.
H [mm] \cap [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] H
Seien a,b [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] U, also a,b [mm] \in [/mm] H und a,b [mm] \in [/mm] U.
Da H und U Untergruppen sind gilt:
[mm] ab^{-1} \in [/mm] H und [mm] ab^{-1} \in [/mm] U.
Also [mm] ab^{-1} \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] U => H [mm] \cap [/mm] U ist Untergruppe.
|
|
|
| |
|
> z.z. H [mm]\cap[/mm] U eine Untergruppe der Gruppe H ist.
>
> H [mm]\cap[/mm] U [mm]\subseteq[/mm] H
>
> Seien a,b [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] U, also a,b [mm]\in[/mm] H und a,b [mm]\in[/mm] U.
>
> Da H und U Untergruppen sind gilt:
>
> [mm]ab^{-1} \in[/mm] H und [mm]ab^{-1} \in[/mm] U.
>
> Also [mm]ab^{-1} \in[/mm] H [mm]\cap[/mm] U => H [mm]\cap[/mm] U ist Untergruppe.
Hallo,
das sieht jetzt um Klassen besser aus!
Du mußt nur noch einen Grund dafür finden, daß [mm] H\cap [/mm] U nicht leer ist. (Denk hierfür an das neutrale Element von G.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Do 14.05.2009 | | Autor: | eppi1981 |
Da H und U Untergruppen der Gruppe G sind, folgt [mm] e_{g}=e_{h}=e_{u}
[/mm]
[mm] \Rightarrow e_{g} \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] U
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Do 14.05.2009 | | Autor: | eppi1981 |
Eine Untergruppe H [mm] \cap [/mm] U von H ist genau dann Normalteiler, wenn für jedes a [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] U und h [mm] \in [/mm] H gilt: [mm] aha^{-1} \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] U
stimmt?
|
|
|
| |
|
> Eine Untergruppe H [mm]\cap[/mm] U von H ist genau dann
> Normalteiler, wenn für jedes a [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] U und h [mm]\in[/mm] H
> gilt: [mm]aha^{-1} \in[/mm] H [mm]\cap[/mm] U
>
> stimmt?
Hallo,
ja, das stimmt.
EDIT: Ich habe nicht gut geguckt:
Es muß [mm]hah^{-1} \in[/mm] H [mm]\cap[/mm] U heißen.
Daß es so ist, mußt Du nun vorrechnen.
Bedenke dafür, daß U ein Normalteiler von G ist.
(Du kennst also doch schon das Wort "Normalteiler" - ich hab's ängstlich vermieden bisher.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Do 14.05.2009 | | Autor: | eppi1981 |
Behauptung: Eine Untergruppe H $ [mm] \cap [/mm] $ U von H ist genau dann Normalteiler, wenn für jedes a $ [mm] \in [/mm] $ H $ [mm] \cap [/mm] $ U und h $ [mm] \in [/mm] $ H gilt: $ [mm] aha^{-1} \in [/mm] $ H $ [mm] \cap [/mm] $ U
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Seien h [mm] \in [/mm] H und a [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] U beliebig. Dann ist ha [mm] \in [/mm] h(H [mm] \cap [/mm] U), wegen h(H [mm] \cap [/mm] U) = (H [mm] \cap [/mm] U) h gilt aber auch ha [mm] \in [/mm] (H [mm] \cap [/mm] U)h. Jetzt muss es aber ein [mm] a_{1} \in [/mm] (h [mm] \cap [/mm] U) geben mit: [mm] ha=a_{1}h, [/mm] umgeformt: [mm] hah^{-1}=a_{1}, [/mm] womit also [mm] hah^{-1} \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] U gilt. Da wir h und a beliebig gewählt hatten, gilt die Behauptung.
|
|
|
| |
|
> Behauptung: Eine Untergruppe H [mm]\cap[/mm] U von H ist genau dann
> Normalteiler, wenn für jedes a [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] U und h [mm]\in[/mm] H
> gilt: [mm]aha^{-1} \in[/mm] H [mm]\cap[/mm] U
Hallo,
hier bringst Du die Voraussetzungen und das, was zu zeigen ist, durcheinander.
Und außerdem bringst Du in der Def. des Normalteilers auch was durcheinander, in der Mitte muß das Element des Normalteilers stehen. (Entschuldige, ich hatte zuvor den Fehler übersehen und habe meine Antwort nun editiert.)
Es ist zu zeigen:
Wenn H Untergruppe von G und U Normalteiler von G, dann folgt, daß [mm] H\cap [/mm] U ein Normalteiler von H ist.
Gezeigt hast Du schon, daß [mm] H\cap [/mm] U eine Untergruppe von H ist.
Zu zeigen bleibt jetzt noch: für alle [mm] h\in [/mm] H und für alle [mm] a\in H\cap [/mm] U ist [mm] hah^{-1}\in H\cap [/mm] U
Beweis: sei [mm] h\in [/mm] H und [mm] a\in H\cap [/mm] U.
Du mußt nun vorrechnen, daß [mm] hah^{-1} [/mm] sowohl in H als auch in U ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
