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| Aufgabe | Es sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Eine lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V heißt normal, wenn gilt [mm] \phi^{\*}\circ \phi [/mm] = [mm] \phi \circ \phi^{\*}
[/mm]
Zeigen Sie:
i) [mm] \phi [/mm] ist genau dann normal, wenn für alle v, w [mm] \in [/mm] V gilt:
< [mm] \phi(v), \phi(w) [/mm] > = < [mm] \phi^{\*}(v), \phi^{\*}(w) [/mm] > |
Habt ihr eine Ahnung wie ich das zeigen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Di 15.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum.
> Eine lineare Abbildung [mm]\phi[/mm] : V [mm]\to[/mm] V heißt normal, wenn
> gilt [mm]\phi^{\*}\circ \phi[/mm] = [mm]\phi \circ \phi^{\*}[/mm]
> Zeigen
> Sie:
>
> i) [mm]\phi[/mm] ist genau dann normal, wenn für alle v, w [mm]\in[/mm] V
> gilt:
> < [mm]\phi(v), \phi(w)[/mm] > = < [mm]\phi^{\*}(v), \phi^{\*}(w)[/mm] >
> Habt ihr eine Ahnung wie ich das zeigen kann?
Ja: Benutze, dass immer gilt [mm] $\langle \phi(v), \phi(w) \rangle [/mm] = [mm] \langle \phi^\ast \phi(v), [/mm] w [mm] \rangle$ [/mm] und [mm] $\langle \phi^\ast(v), \phi^\ast(w) \rangle [/mm] = [mm] \langle \phi \phi^\ast(v), [/mm] w [mm] \rangle$, [/mm] und dass das Skalarprodukt nicht degeneriert ist, dass also wenn fuer alle $w [mm] \in [/mm] V$ [mm] $\langle [/mm] v, w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] v', w [mm] \rangle$ [/mm] ist, bereits $v = v'$ sein muss (setze etwa $w = v - v'$ ein und rechne das Skalarprodukt aus).
LG Felix
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Danke erstmal :)
Aber bei der Sache mit dem Skalarprodukt habe ich das hier heraus: (weiß nicht ob das so stimmt)
<v, w> = <v, v-v'> = [mm] v^{t}*(v-v') [/mm] = [mm] (v_{1}*(v_{1}-v_{1}'))-(v_{2}*(v_{2}-v_{2}') [/mm] - ... - [mm] v_{n}*(v_{n}-v_{n}')
[/mm]
= [mm] (v_{1}^{2}-v_{1}v_{1}')-(v_{2}^{2}-v_{2}v_{2}')- [/mm] ... - [mm] (v_{n}^{2}-v_{n}v_{n}'
[/mm]
Kann man jetzt sagen, dass dies = 0 ist wenn gilt v=v' ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Di 15.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke erstmal :)
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> Aber bei der Sache mit dem Skalarprodukt habe ich das hier
> heraus: (weiß nicht ob das so stimmt)
>
> <v, w> = <v, v-v'> = [mm]v^{t}*(v-v')[/mm] =
> [mm](v_{1}*(v_{1}-v_{1}'))-(v_{2}*(v_{2}-v_{2}')[/mm] - ... -
> [mm]v_{n}*(v_{n}-v_{n}')[/mm]
>
> = [mm](v_{1}^{2}-v_{1}v_{1}')-(v_{2}^{2}-v_{2}v_{2}')-[/mm] ... -
> [mm](v_{n}^{2}-v_{n}v_{n}'[/mm]
Du brauchst kein konkretes Skalarprodukt anschauen. Das kann man alles direkt mit den Eigenschaften des Skalarproduktes zeigen.
> Kann man jetzt sagen, dass dies = 0 ist wenn gilt v=v' ?
Wenn $v = v'$ ist, dann ist $v - v' = 0$, also [mm] $\langle [/mm] v, w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] v, v - v' [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] v, 0 [mm] \rangle [/mm] = 0$.
LG Felix
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