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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Mi 09.04.2008 | | Autor: | nimet |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Permutationsgruppe [mm] S_{3} [/mm] als Menge aller bijektiven Abbildungen einer 3-elementigen Menge in sich. Bestimmen Sie alle Normalenteiler dieser Gruppe. (Hinweis: Erstellen Sie zunächst eine Verknüpfungstafel) |
Hallo,
also habe die Tafel erstellt meine Untergruppen bestimmt und weiß auch, dass für die Normalteiler gilt: Eine Untergruppe N von G ist genau dann ein Normalteiler, falls für alle [mm] g\in [/mm] G gilt: gN=Ng
bloß weiß ich nicht wie ich das explizit aufschreiben soll!Ein Beispiel würde schon echt reichen!den rest hoffe ich doch schaffe ich selbst!Brauche echt nur ne konkrete Schreibweise dazu!würde mir echt weiterhelfen!
danke im vorraus
LG nimet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:37 Do 10.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
[mm] M=\{1,2,3\} [/mm] und [mm] s\in S_3 [/mm] definiert durch s(1)=3, s(2)=1 und s(3)=2.
Man könnte dann s schreiben als
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } [/mm] -> 1.Stelle auf 3., 2. auf 1. und 3. auf 2.
bzw. mit [mm] M\cong\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0},\vektor{0\\0\\1}\}
[/mm]
[mm] \pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
oder als Zyklen
(132) -> 1. auf 3., die vorherige 3. auf 2., 2. auf 1.
Verknüpfungen mit [mm] \circ. [/mm] also :
[mm] (23)\circ(12)=(132)
[/mm]
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Do 10.04.2008 | | Autor: | nimet |
recht herzlichen dank für deine antwort!bloß wie funktioniert es mit den normalteiler???wie mache ich das genau????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Do 10.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Normalteiler sind genau die Kerne von Endomorphismen, ein solcher sollte sich für jeden Normalteiler auch gut konstruieren lassen. Um zu zeigen dass eine UG kein NT ist reicht es ein element g [mm] \in [/mm] G zu finden so dass [mm] g^{-1}Ug \not= [/mm] U ist. Hilft dir das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Do 10.04.2008 | | Autor: | nimet |
danke für die antwort!die definition habe ich auch gefunden bloß weiß ich echt nicht wie es aufschreiben soll!bräuchte echt nur ein beispiel von der gruppe und könnte es dann nachvollziehen!wäre super nett wenn man mir eins vorrechnet damit ich es endlich verstehe!:((
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Do 10.04.2008 | | Autor: | MacMath |
In meinem Beitrag fordere ich zuviel, es reicht, Kern eines beliebigen Homomorphismus zu sein *g*
Naja versuchen wirs gemeinsam, welche Untergruppen hast du?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Do 10.04.2008 | | Autor: | nimet |
habe als Untergruppen mit einem element die identität, mit zwei elementen drei untergruppen nämlich [mm] ({id,\gamma_{1}}), ({id,\gamma_{2}}),({id,\gamma_{3}}) [/mm] wobei [mm] \gamma_{1}=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3} [/mm] , [mm] \gamma_{2}=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1} [/mm] , [mm] \gamma_{3}=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2} [/mm] habe noch eine untergruppe mit drei elementen und eine untregruppe mit 6 elementen!bin zu faul um alle aufzuschreiben!deswegen schreibe ich nur die ersten auf ;))
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 Do 10.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Welche Untergruppe mit 6 Elementen? (Nein musst du nicht alle reinschreiben, aber was ist das für eine??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Do 10.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Ich denke mal hier wurde [mm] S_3 [/mm] gewählt, da es nur 6 Elemente enthält.
Du kannst also problemlos einfach mal alle aufschreiben und jeweils testen ob es ein Normalteiler ist.
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Do 10.04.2008 | | Autor: | nimet |
und genau da liegt mein problem wie macht man es genau???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Do 10.04.2008 | | Autor: | Zneques |
[mm] S_3=\{id,(12),(23),(13),(123),(132)\}
[/mm]
Test für id :
[mm] g\circ id=id\circ [/mm] g , für [mm] g\in S_3
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] g=g
[mm] \Rightarrow [/mm] id ist ein Normalteiler.
Test für (12) :
[mm] g\circ (12)=(12)\circ [/mm] g , für [mm] g\in S_3
[/mm]
aber
[mm] (23)\circ(12)=(132)\not=(123)=(12)\circ(23)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (12) ist kein Ele. eines Normalteiler.
...
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Do 10.04.2008 | | Autor: | nimet |
danke das hat mir weitergeholfen!merci!sehr nett ;)))
bye
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Do 10.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Falls du weißt das alle UG der [mm] S_3 [/mm] (außer [mm] S_3 [/mm] selber und der trivialen von einem Element erzeugt werden, dann wird schnell klar dass als NT davon nur eine in Frage kommt. id und [mm] S_3 [/mm] sind trivial NT, die UG der Ordnung 2 fallen raus, das sieht man wenn man den Erzeuger mit einem 3-Zykel verknüpft
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