normalteiler < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:50 So 30.04.2006 | | Autor: | flups |
| Aufgabe | seine [mm] M_1 [/mm] .. [mm] M_k [/mm] aller normalteiler einer endlichen gruppe G. Und [mm] G/M_1 [/mm] (faktorgruppe nach [mm] M_i [/mm] ) liegt in einer klasse K.
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wann und arum gibt es solche normalteiler?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.matheplanet.com
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> seine [mm]M_1[/mm] .. [mm]M_k[/mm] aller normalteiler einer endlichen gruppe
> G. Und [mm]G/M_1[/mm] (faktorgruppe nach [mm]M_i[/mm] ) liegt in einer klasse
> K.
>
> wann und arum gibt es solche normalteiler?
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: www.matheplanet.com
Kannst du die Frage und die Aussage davor bitte nochmal so formulieren, dass man sie auch verstehen kann? Und einen genauen Link zu der Frage bei matheplanet.com posten?
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Mo 01.05.2006 | | Autor: | flups |
| Aufgabe | Sei K eine Klasse von Gruppen mit den folgenden Eigenschaften:
1) wenn H [mm] \in [/mm] K => alle zu H isomorphen Gruppen sind [mm] \in [/mm] K
2) wenn H [mm] \in [/mm] K => alle UG von H [mm] \in [/mm] K
3) wenn Gruppen [mm] H_1 [/mm] ,..., [mm] H_k \in [/mm] K => direktes Produkt [mm] H_1 \times [/mm] ... [mm] \times H_k \in [/mm] K
Seien [mm] M_1 [/mm] , ... , [mm] M_k [/mm] alle Normalteiler einer endlichen Gruppe G mit [mm] G_M_i \in [/mm] K für i=1..k dann ist D:= [mm] \bigcap_{i=1}^{k} M_i [/mm] der kleinste Normalteiler von G, dessen Faktorgruppe in K liegt.
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Wann und warum gibt eseigentlich solche Normalteiler?
Sry, für die Unvollständigkeit beim ersten Post.
Im Planet ist die Voraussetzung hier: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=55183&start=0&lps=414685#v414685
Die Aufgabenstellung war dort jedoch eine andere.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei K eine Klasse von Gruppen mit den folgenden
> Eigenschaften:
> 1) wenn H [mm]\in[/mm] K => alle zu H isomorphen Gruppen sind [mm]\in[/mm]
> K
> 2) wenn H [mm]\in[/mm] K => alle UG von H [mm]\in[/mm] K
> 3) wenn Gruppen [mm]H_1[/mm] ,..., [mm]H_k \in[/mm] K => direktes Produkt
> [mm]H_1 \times[/mm] ... [mm]\times H_k \in[/mm] K
>
> Seien [mm]M_1[/mm] , ... , [mm]M_k[/mm] alle Normalteiler einer endlichen
> Gruppe G mit [mm]G_M_i \in[/mm] K für i=1..k
Soll das [mm] $G/M_i \in [/mm] K$ heissen?
> dann ist D:=
> [mm]\bigcap_{i=1}^{k} M_i[/mm] der kleinste Normalteiler von G,
> dessen Faktorgruppe in K liegt.
>
> Wann und warum gibt eseigentlich solche Normalteiler?
> Sry, für die Unvollständigkeit beim ersten Post.
Wenn ja, dann musst du drei Sachen zeigen:
i) $D$ ist ein Normalteiler (einfach).
ii) $G/D$ liegt in $K$.
iii) Ist $D'$ ein Normalteiler von $G$ mit $G/D' [mm] \in [/mm] K$, so ist $D [mm] \subseteq [/mm] D'$ (einfach).
Einen Beweis fuer (ii) hat Martin in seinem Post auf matheplanet.com vorgefuehrt.
LG Felix
PS: Schreib doch bitte demnaechst deine Postings so, dass man sie auch lesen kann! Das bedeutet insbesondere, dass du nicht \el anstatt \in schreibst (da steht dann nachher einfach gar nichts mehr) und dass du dir das Posting ein paarmal durchliest, ob auch wirklich alles so da steht wie es da stehen soll!
PPS: Ist dir aufgefallen, dass diese Frage auf matheplanet.com schon vollstaendig von Martin beantwortet worden ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Mo 01.05.2006 | | Autor: | flups |
Hallo,
ich weiß, dass diese frage bereits auf dem planet beantwortet wurde und ja, ich meinte $ [mm] G/M_i \in [/mm] K $.
Meine frage ist jetzt, wann und warum gibt es solche normalteiler?
MFG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich weiß, dass diese frage bereits auf dem planet
> beantwortet wurde und ja, ich meinte [mm]G/M_i \in K [/mm].
Okey.
> Meine frage ist jetzt, wann und warum gibt es solche
> normalteiler?
Das haengt von der Klasse $K$ ab. Insbesondere das 'warum'; das hoert sich eher nach einer philosophischen Frage an (a la 'Warum gibt es uns?'). Und es auch nicht umbedingt solche Normalteiler geben. (Sobald jedoch $K$ mindestens eine Gruppe enthaelt, enthaelt sie auch die triviale Gruppe und alles was dazu isomorph ist, womit $G/G$ in $K$ enthalten ist: Also gibt es dann mindestens einen solchen Normalteiler, naemlich $G$ selber.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Mo 01.05.2006 | | Autor: | flups |
oki! danke schonmal dafür.
aber sind denn die die $ [mm] G/M_i \in [/mm] K $ isomorph zu G/G ?
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
> oki! danke schonmal dafür.
> aber sind denn die die [mm]G/M_i \in K[/mm] isomorph zu G/G ?
Im Allgemeinen nicht: $G/G$ ist ja die triviale Gruppe, waehrend [mm] $G/M_i$ [/mm] im Allgemienen nicht trivial ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mo 01.05.2006 | | Autor: | flups |
Okay, um das nun noch einmal für mich zusammenzufassen:
dh. also, es gibt solche Normalteielr [mm] M_i [/mm] nur dann, wenn K nicht leer ist und mind die trivialen Gruppen enthält, und dann liegen alle Faktorgruppen [mm] G/M_i [/mm] in K.
Ansonsten müssen sie keine Eigenschaften erfüllen, ja?
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Okay, um das nun noch einmal für mich zusammenzufassen:
> dh. also, es gibt solche Normalteielr [mm]M_i[/mm] nur dann, wenn K
> nicht leer ist und mind die trivialen Gruppen enthält, und
> dann liegen alle Faktorgruppen [mm]G/M_i[/mm] in K.
> Ansonsten müssen sie keine Eigenschaften erfüllen, ja?
Das stimmt so nicht.
1) Wenn $K$ nicht leer ist, so enthaelt $K$ auch immer die trivialen Gruppen.
2) Wenn also $K$ nicht leer ist, existiert also zu jeder Gruppe $G$ ein Normalteiler $N [mm] \subseteq [/mm] G$ mit $G/N [mm] \in [/mm] K$, und sogar ein minimaler (nach der Aufgabe).
3) Wenn $N$ ein beliebiger Normalteiler einer beliebigen Gruppe $G$ ist, so muss die Faktorgruppe $G/N$ nicht in $K$ liegen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mo 01.05.2006 | | Autor: | flups |
Hm...
also ist die einzige Bedingung dafür, dass es solche Normalteiler gibt ist, dass K nicht leer ist, ja?
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
> Hm...
> also ist die einzige Bedingung dafür, dass es solche
> Normalteiler gibt ist, dass K nicht leer ist, ja?
Ja.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Mo 01.05.2006 | | Autor: | flups |
alles klar, dann recht vielen dank!
ich wünsche dir noch nen schönen abend...
LG
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