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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mi 06.04.2005 | | Autor: | crowmat |
das kapital auf speziellen geldmarktkonten werden stetig verzinst, d.h. nach t jahren hat das kapital K einen wert von K*e^(r*t), wobei r der zinssatz ist! Der Zinssatz variert zufällig und normalverteilt von bank zu bank um den erwartungswert EX=0.04 bei einer standardabweichung von 0.01! EIn betrag von 10000EUR wird bei einer zufällig ausgewählten bank auf ein solches Konto angelegt!
a) Wie hoch ist der erwartete Kontostand nach einem Jahr?
b) Wie groß ist die wahrscheinlichkeit das der kontostand nach einem jahr mehr als [mm] 10000e^0.4 [/mm] EUR beträgt?
Ich hab keine ahnung was ich machen soll,muß ich hier mit der normalverteilung rechnen und wenn ja wie.Ich hab noch nie was in der Richtung gemacht!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> das kapital auf speziellen geldmarktkonten werden stetig
> verzinst, d.h. nach t jahren hat das kapital K einen wert
> von K*e^(r*t), wobei r der zinssatz ist! Der Zinssatz
> variert zufällig und normalverteilt von bank zu bank um den
> erwartungswert EX=0.04 bei einer standardabweichung von
> 0.01! EIn betrag von 10000EUR wird bei einer zufällig
> ausgewählten bank auf ein solches Konto angelegt!
> a) Wie hoch ist der erwartete Kontostand nach einem Jahr?
Gefragt ist also: $E[10000 [mm] \cdot e^r]$, [/mm] wobei $r$ nach Voraussetzung [mm] ${\cal N}(0.04;0,01^2)$-verteilt [/mm] ist.
Du musst also folgendes berechnen:
$10000 [mm] \cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^x \cdot \nu_{0.04;0.01^2}(x)\, [/mm] dx$,
wobei [mm] $\nu_{0.04;0.01^2}$ [/mm] die Dichte der Normalverteilung [mm] ${\cal N}(0.04;0,01^2)$ [/mm] sein soll.
Versuchst du das bitte mal? 
> b) Wie groß ist die wahrscheinlichkeit das der kontostand
> nach einem jahr mehr als [mm]10000e^0.4[/mm] EUR beträgt?
> Ich hab keine ahnung was ich machen soll,muß ich hier mit
> der normalverteilung rechnen und wenn ja wie.Ich hab noch
> nie was in der Richtung gemacht!
Gefragt ist:
$P(10000 [mm] \cdot e^r [/mm] > 10000 [mm] \cdot e^{0.4})$.
[/mm]
Forme beide Seiten der Gleichung so um, dass da steht:
$P(r > [mm] \ldots)$
[/mm]
und nutze dann aus, dass $r$ [mm] ${\cal N}(0.04;0.01^2)$-verteilt [/mm] ist.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Fr 08.04.2005 | | Autor: | crowmat |
hab mich gerad mal an aufgabe a versucht!MUß ich bei der dichtefunktion für x immer 10000* [mm] e^{r} [/mm] einsetzen?
also wenn dem so ist, find ich das gar nicht so einfach das Integral auszurechnen!
und auch bei der b tun sich bei mir probleme auf!Folgendes hab ich gerechnet:
p(r>0.4)= 1-P(r<=0.4)
berechnung von P(r<=4) durch standardisierung:
y= (r-0.04)/0.01
dann komm ich für r=0.4 auf y=36 und das kann ich doch nicht in der tabelle ablesen :-(
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Hallo crowmat!
> hab mich gerad mal an aufgabe a versucht!MUß ich bei der
> dichtefunktion für x immer 10000* [mm]e^{r}[/mm] einsetzen?
> also wenn dem so ist, find ich das gar nicht so einfach
> das Integral auszurechnen!
Jetzt verstehe ich die Frage leider nicht. Was Stefan konkret hingeschrieben hat, ist das Ìntegral, das aus der folgenden Formel entsteht:
[mm]E(g(X))=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x)\,dx[/mm]
Dabei ist $g$ eine stetige Funktion und $f$ die Dichte der Zufallsvariablen X. Bei Deiner Aufgabe ist X der zufällige Zinssatz r, und f(x) ist die von Stefan mit [mm] $\nu$ [/mm] bezeichnete Dichte der Normalverteilung mit den Parametern [mm] $\mu=0.04$ [/mm] und [mm] $\sigma=0.01$. [/mm] g(x) wird also nur einmal eingesetzt, nicht etwa noch in die Dichte f bzw. [mm] $\nu$. [/mm] Damit wir nicht aneinander vorbeireden: Du solltest folgendes Integral bestimmen:
[mm]E(10000e^r)=10000\cdot\int_{-\infty}^{\infty} e^x \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\,dx[/mm]
Das sollte mit quadratischer Ergänzung im Exponenten machbar sein (also erst die beiden Faktoren mit der e-Funktion zusammenfassen).
> und auch bei der b tun sich bei mir probleme auf!Folgendes
> hab ich gerechnet:
> p(r>0.4)= 1-P(r<=0.4)
> berechnung von P(r<=4) durch standardisierung:
>
> y= (r-0.04)/0.01
Hm. Also vielleicht kurz was zur Schreibweise:
[mm]P(r\le 0.4)=P\left(\frac{r-0.04}{0.01}\le\frac{0.4-0.04}{0.01}\right)=\Phi(36)[/mm]
> dann komm ich für r=0.4 auf y=36 und das kann ich doch
> nicht in der tabelle ablesen :-(
Na ja, Du siehst ja selbst, wie sich die Tabelle für große Werte entwickelt. Die Wkt. ist nahezu 1.
Andere Möglichkeit: Gefragt war P(r>0.04). Kann das sein?
Viele Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Sa 09.04.2005 | | Autor: | crowmat |
ich hab nochmal versucht das Integral
auszurechnen! Und obwohl ich die quadratische ergänzung gemacht habe, komme ich trotzdem auf keinen genauen wert für das Integral!
vielleicht habe ich mich verrechnet?
folgendes habe ich raus.:
[mm] \bruch{1}{1000x-540} [/mm] * [mm] e^{500(x-0.54)²-146,6 }in [/mm] den grenzen von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty
[/mm]
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Hallo nochmal!
> folgendes habe ich raus.:
>
> [mm]\bruch{1}{1000x-540}[/mm] * [mm]e^{500(x-0.54)²-146,6 }in[/mm] den
> grenzen von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm]
Keine Ahnung, wie Du darauf kommst. Ohne die Zwischenschritte ist es schwer, das nachzuvollziehen. Ich skizziere mal, was ich gemacht habe (K=10000):
[mm]E(Ke^r)=K\int_{-\infty}^{\infty} e^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}0.01}\cdot e^{-(x-0.04)^2/0.02}\,dx[/mm]
[mm]=K\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}0.01}\cdot e^{-\frac{1}{0.02}(x^2-0.08x+0.0016-0.02x)}\,dx[/mm]
[mm]=K\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}0.01}\cdot e^{-\frac{1}{0.02}((x-0.05)^2+0.0016-0.0025)}\,dx[/mm]
[mm]=K\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}0.01}\cdot e^{-\frac{1}{0.02}((x-0.05)^2-0.0009)}\,dx[/mm]
[mm]=K\cdot e^{0.045}\cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}0.01}\cdot e^{-\frac{(x-0.05)^2}{0.02}}\,dx[/mm]
Das Integral nimmt den Wert 1 an, da der Integrand die Dichte der Normalverteilung ist mit [mm] \mu=0.05 [/mm] und dem gleichen [mm] \sigma [/mm] wie vorher.
VIele Grüße
Brigitte
P.S.: Bin gerade etwas im Stress, hoffe, es sind nicht zu viele Fehler drin.
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