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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei K ein endlicher Körper und sei q die Anzahl der Elemente von K.
1) Seien a,b [mm] \in [/mm] K. Man gebe eine Matrix A [mm] \in M_{2}(K) [/mm] an mit [mm] \chi_{A}=X^{2}+aX+b
[/mm]
2) Man bestimme die Anzahl aller normierten Polynome p [mm] \in [/mm] K[X] vom Grad 2. |
Hallo zusammen^^
Bei der a) hab ich eine Matrix bestimmt, unzwar [mm] A=\pmat{ 0 & b \\ -1 & -a }, [/mm] die hat nämlich das charakteristische Polynom [mm] \chi_{A}=X^{2}+aX+b.
[/mm]
b) Da hab ich mir das so Überlegt.Die allgemeinen normierten Polynome 2.Grades sehen so aus [mm] P(X)=X^{2}+aX+b. [/mm] Das [mm] X^{2} [/mm] bleibt immer und die a und b kann ich variieren. Da der Körper q Elemente hat, müssten das insgesamt [mm] q^{2}+1 [/mm] normierte Polynome sein oder?
Vielen Dank
lg
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Hallo!
> Sei K ein endlicher Körper und sei q die Anzahl der
> Elemente von K.
>
> 1) Seien a,b [mm]\in[/mm] K. Man gebe eine Matrix A [mm]\in M_{2}(K)[/mm] an
> mit [mm]\chi_{A}=X^{2}+aX+b[/mm]
>
> 2) Man bestimme die Anzahl aller normierten Polynome p [mm]\in[/mm]
> K[X] vom Grad 2.
> Hallo zusammen^^
>
> Bei der a) hab ich eine Matrix bestimmt, unzwar [mm]A=\pmat{ 0 & b \\
-1 & -a },[/mm]
> die hat nämlich das charakteristische Polynom
> [mm]\chi_{A}=X^{2}+aX+b.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) Da hab ich mir das so Überlegt.Die allgemeinen
> normierten Polynome 2.Grades sehen so aus [mm]P(X)=X^{2}+aX+b.[/mm]
> Das [mm]X^{2}[/mm] bleibt immer und die a und b kann ich variieren.
> Da der Körper q Elemente hat, müssten das insgesamt
> [mm]q^{2}+1[/mm] normierte Polynome sein oder?
Wieso +1 ?
Ich komme nur auf [mm] q^{2} [/mm] Möglichkeiten: [mm] a\in [/mm] K hat $q$ Möglichkeiten und [mm] $b\in [/mm] K$ auch. 
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > b) Da hab ich mir das so Überlegt.Die allgemeinen
> > normierten Polynome 2.Grades sehen so aus [mm]P(X)=X^{2}+aX+b.[/mm]
> > Das [mm]X^{2}[/mm] bleibt immer und die a und b kann ich variieren.
> > Da der Körper q Elemente hat, müssten das insgesamt
> > [mm]q^{2}+1[/mm] normierte Polynome sein oder?
>
> Wieso +1 ?
> Ich komme nur auf [mm]q^{2}[/mm] Möglichkeiten: [mm]a\in[/mm] K hat [mm]q[/mm]
> Möglichkeiten und [mm]b\in K[/mm] auch.
>
Irgendwie hab ich das Polynom für a=b=0 extra dazu gezählt, aber ich merks schon, das ergibt keinen Sinn, also [mm] q^{2} [/mm] Elemente.
Vielen Dank
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | 3) Man bestimme die Anzahl aller normierten Polynome p [mm] \in [/mm] K[x], die zweiten Grades sind und Produkte von Linearfaktoren sind.
4) Man folgere mithilfe von 1)-3), dass es Matrizen A [mm] \in M_{2}(K) [/mm] gibt, die keine Eigenwerte besitzen. |
Hallo,
ich hab jetzt die 3) und 4) gemacht.
3) In zwei hab ich herausgefunden, dass es [mm] q^{2} [/mm] normierte Polynome zweiten Grades gibt. Wenn das Polynom Produkt von Linearfaktoren sein soll, dann muss in [mm] p(X)=X^{2}+a*X+b [/mm] das b=0 sein. Das heißt, ich habe für a [mm] \in [/mm] K q Möglichkeiten und für b [mm] \in [/mm] K nur die Möglichkeit b=0 ( wenn 0 im Körper liegt). Also gibt es q solche Polynome.
4) Ich hab mir gedacht, dass ich mir das charakt. Polynom [mm] \chi_{A}=X^{2}+aX+b [/mm] anschau. Wenn [mm] X^{2}+aX=0 [/mm] ist, dann hat die zu dem Polynom zugehörige Matrix keine Eigenwerte. Also muss gelten: X=-a.
Aber X ist ja dann der Eigenwert,also gibt es doch einen.
Irgendwie komme ich hier nicht mehr weiter. Hat jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank
lg
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Hallo!
> 3) Man bestimme die Anzahl aller normierten Polynome p [mm]\in[/mm]
> K[x], die zweiten Grades sind und Produkte von
> Linearfaktoren sind.
>
> 4) Man folgere mithilfe von 1)-3), dass es Matrizen A [mm]\in M_{2}(K)[/mm]
> gibt, die keine Eigenwerte besitzen.
> Hallo,
> 3) In zwei hab ich herausgefunden, dass es [mm]q^{2}[/mm] normierte
> Polynome zweiten Grades gibt. Wenn das Polynom Produkt von
> Linearfaktoren sein soll, dann muss in [mm]p(X)=X^{2}+a*X+b[/mm] das
> b=0 sein. Das heißt, ich habe für a [mm]\in[/mm] K q
> Möglichkeiten und für b [mm]\in[/mm] K nur die Möglichkeit b=0 (
> wenn 0 im Körper liegt). Also gibt es q solche Polynome.
Aber ist denn $(X+a)*(X+b)$ keine Zerlegung eines quadratischen Polynoms in Linearfaktoren? Ich denke schon.
a und b dürfen aus den q Zahlen wählen, mit "Zurücklegen" aber auch "mit Beachtung der Reihenfolge". (denn a = 1, b = 2 und a = 2, b = 1 liefern ja dasselbe Polynom). Da gibt es eine Formel zur Lösung.
Dann musst du dir noch überlegen, ob das wirklich alle Lösungen sind oder ob du noch mehr streichen musst.
> 4) Ich hab mir gedacht, dass ich mir das charakt. Polynom
> [mm]\chi_{A}=X^{2}+aX+b[/mm] anschau.
> Wenn [mm]X^{2}+aX=0[/mm] ist, dann hat
> die zu dem Polynom zugehörige Matrix keine Eigenwerte.
> Also muss gelten: X=-a.
Was? Vertust du dich hier nicht mit Eigenwerten usw.?
Mach dir erstmal klar, dass prinzipiell jedes Polynom zweiten Grades als charakteristisches Polynom einer Matrix vorkommen kann. Damit ist klar, dass das charakteristische Polynom .... Möglichkeiten hat.
Andererseits weißt du aus 3), dass es weniger Polynome gibt, die in Linearfaktoren zerfallen...
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Di 22.03.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> Hallo!
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> > 3) Man bestimme die Anzahl aller normierten Polynome p [mm]\in[/mm]
> > K[x], die zweiten Grades sind und Produkte von
> > Linearfaktoren sind.
> >
> > 4) Man folgere mithilfe von 1)-3), dass es Matrizen A [mm]\in M_{2}(K)[/mm]
> > gibt, die keine Eigenwerte besitzen.
> > Hallo,
> Aber ist denn [mm](X+a)*(X+b)[/mm] keine Zerlegung eines
> quadratischen Polynoms in Linearfaktoren? Ich denke schon.
Ja stimmt.
>
> a und b dürfen aus den q Zahlen wählen, mit
> "Zurücklegen" aber auch "mit Beachtung der Reihenfolge".
> (denn a = 1, b = 2 und a = 2, b = 1 liefern ja dasselbe
> Polynom). Da gibt es eine Formel zur Lösung.
Wieso denn "mit Beachtung der Reihenfolge"? Wenn a=1,b=2 und a=2,b=1 dasselbe Polynom liefern, dann wird die Reihenfolge doch gerade nicht beachtet oder?
Ich hab mir das jetzt anhand eines Beispiels überlegt. Sagen wir [mm] K=\IF_{2}. [/mm] Dann nehme ich wieder den Ansatz p(X)=(X+a)*(X+b). Dann hab ich 6 Möglichkeiten a und b so zu wählen, dass verschiedene Polynome rauskommen. Unzwar (a=b=1), (a=1,b=2), (a=1,b=0), (a=2,b=0), (a=b=2), (a=b=0). Das sind 3! Möglichkeiten. Also müsste es allgemein immer q! solche Polynome geben. Kann man das so sagen?
>
> Dann musst du dir noch überlegen, ob das wirklich alle
> Lösungen sind oder ob du noch mehr streichen musst.
Ich weiß nicht, welche ich noch streichen sollte.
>
> > 4) Ich hab mir gedacht, dass ich mir das charakt. Polynom
> > [mm]\chi_{A}=X^{2}+aX+b[/mm] anschau.
>
>
>
> Mach dir erstmal klar, dass prinzipiell jedes Polynom
> zweiten Grades als charakteristisches Polynom einer Matrix
> vorkommen kann. Damit ist klar, dass das charakteristische
> Polynom .... Möglichkeiten hat.
Meinst du nicht eher jedes normierte char. Polynom? Damit müsste nach (2) das char. Polynom [mm] q^{2} [/mm] Möglichkeiten haben.
> Andererseits weißt du aus 3), dass es weniger Polynome
> gibt, die in Linearfaktoren zerfallen...
So sollte es sein, aber ich hab in 3) q! Polynome rausgekriegt und das sind nicht immer weniger als [mm] q^{2}, [/mm] also hab ich irgendwas in 3) falsch gemacht.Aber was?
lg
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Hallo Mandy_90,
> Hallo,
>
> > Hallo!
> >
> >
> > > 3) Man bestimme die Anzahl aller normierten Polynome p [mm]\in[/mm]
> > > K[x], die zweiten Grades sind und Produkte von
> > > Linearfaktoren sind.
> > >
> > > 4) Man folgere mithilfe von 1)-3), dass es Matrizen A [mm]\in M_{2}(K)[/mm]
> > > gibt, die keine Eigenwerte besitzen.
> > > Hallo,
>
> > Aber ist denn [mm](X+a)*(X+b)[/mm] keine Zerlegung eines
> > quadratischen Polynoms in Linearfaktoren? Ich denke schon.
>
> Ja stimmt.
> >
> > a und b dürfen aus den q Zahlen wählen, mit
> > "Zurücklegen" aber auch "mit Beachtung der Reihenfolge".
> > (denn a = 1, b = 2 und a = 2, b = 1 liefern ja dasselbe
> > Polynom). Da gibt es eine Formel zur Lösung.
>
> Wieso denn "mit Beachtung der Reihenfolge"? Wenn a=1,b=2
> und a=2,b=1 dasselbe Polynom liefern, dann wird die
> Reihenfolge doch gerade nicht beachtet oder?
Da hast Du recht.
> Ich hab mir das jetzt anhand eines Beispiels überlegt.
> Sagen wir [mm]K=\IF_{2}.[/mm] Dann nehme ich wieder den Ansatz
> p(X)=(X+a)*(X+b). Dann hab ich 6 Möglichkeiten a und b so
> zu wählen, dass verschiedene Polynome rauskommen. Unzwar
> (a=b=1), (a=1,b=2), (a=1,b=0), (a=2,b=0), (a=b=2), (a=b=0).
> Das sind 3! Möglichkeiten. Also müsste es allgemein immer
> q! solche Polynome geben. Kann man das so sagen?
> >
Nein, [mm]\IF_{2}[/mm] hat doch nur 2 Elemente.
> > Dann musst du dir noch überlegen, ob das wirklich alle
> > Lösungen sind oder ob du noch mehr streichen musst.
>
> Ich weiß nicht, welche ich noch streichen sollte.
> >
> > > 4) Ich hab mir gedacht, dass ich mir das charakt. Polynom
> > > [mm]\chi_{A}=X^{2}+aX+b[/mm] anschau.
> >
> >
> >
>
> > Mach dir erstmal klar, dass prinzipiell jedes Polynom
> > zweiten Grades als charakteristisches Polynom einer Matrix
> > vorkommen kann. Damit ist klar, dass das charakteristische
> > Polynom .... Möglichkeiten hat.
>
> Meinst du nicht eher jedes normierte char. Polynom? Damit
> müsste nach (2) das char. Polynom [mm]q^{2}[/mm] Möglichkeiten
> haben.
Ja.
>
> > Andererseits weißt du aus 3), dass es weniger Polynome
> > gibt, die in Linearfaktoren zerfallen...
>
> So sollte es sein, aber ich hab in 3) q! Polynome
> rausgekriegt und das sind nicht immer weniger als [mm]q^{2},[/mm]
> also hab ich irgendwas in 3) falsch gemacht.Aber was?
>
> lg
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Ich hab mir das jetzt anhand eines Beispiels überlegt.
> > Sagen wir [mm]K=\IF_{2}.[/mm] Dann nehme ich wieder den Ansatz
> > p(X)=(X+a)*(X+b). Dann hab ich 6 Möglichkeiten a und b so
> > zu wählen, dass verschiedene Polynome rauskommen. Unzwar
> > (a=b=1), (a=1,b=2), (a=1,b=0), (a=2,b=0), (a=b=2), (a=b=0).
> > Das sind 3! Möglichkeiten. Also müsste es allgemein immer
> > q! solche Polynome geben. Kann man das so sagen?
> > >
>
>
> Nein, [mm]\IF_{2}[/mm] hat doch nur 2 Elemente.
>
Ok, stimmt, dann ist es eben der [mm] \IF_{3}, [/mm] der hat die 3 Elemente 0,1 und 2. Und es gibt 3!=6 verschiedene Polynome. Könnte man somit allgemein sagen, dass es in einem Körper mit q Elementen q! normierte Polynome vom Grad 2 gibt, die Produkte von Linearfaktoren sind?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> > > Ich hab mir das jetzt anhand eines Beispiels überlegt.
> > > Sagen wir [mm]K=\IF_{2}.[/mm] Dann nehme ich wieder den Ansatz
> > > p(X)=(X+a)*(X+b). Dann hab ich 6 Möglichkeiten a und b so
> > > zu wählen, dass verschiedene Polynome rauskommen. Unzwar
> > > (a=b=1), (a=1,b=2), (a=1,b=0), (a=2,b=0), (a=b=2), (a=b=0).
> > > Das sind 3! Möglichkeiten. Also müsste es allgemein immer
> > > q! solche Polynome geben. Kann man das so sagen?
> > > >
> >
> >
> > Nein, [mm]\IF_{2}[/mm] hat doch nur 2 Elemente.
> >
>
> Ok, stimmt, dann ist es eben der [mm]\IF_{3},[/mm] der hat die 3
> Elemente 0,1 und 2. Und es gibt 3!=6 verschiedene Polynome.
> Könnte man somit allgemein sagen, dass es in einem Körper
> mit q Elementen q! normierte Polynome vom Grad 2 gibt, die
> Produkte von Linearfaktoren sind?
Nein, das kann man nicht allgemein sagen.
Schreib Dir das doch einmal für q=4 auf.
>
> Vielen Dank
> lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Ok, stimmt, dann ist es eben der [mm]\IF_{3},[/mm] der hat die 3
> > Elemente 0,1 und 2. Und es gibt 3!=6 verschiedene Polynome.
> > Könnte man somit allgemein sagen, dass es in einem Körper
> > mit q Elementen q! normierte Polynome vom Grad 2 gibt, die
> > Produkte von Linearfaktoren sind?
>
>
> Nein, das kann man nicht allgemein sagen.
>
> Schreib Dir das doch einmal für q=4 auf.
Für q=4 gibt es 10 Möglichkeiten. Ich hab jetzt eine Formel gefunen, hab es mit q=3,4,5 ausprobiert und es klappt. Unzwar gibt es in einem Körper mit q Elementen [mm] \vektor{q+1 \\ 2} [/mm] normierte Polynome vom Grad 2, die Produkte von Linearfaktoren sind.
Und da [mm] q^{2} [/mm] immer größer ist als [mm] \vektor{q+1 \\ 2} [/mm] (wobei ich noch am überlegen,ob ich das beweisen müsste), gibt es Matrizen die keine Eigenwerte haben.
Stimmt das nun so?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> > > Ok, stimmt, dann ist es eben der [mm]\IF_{3},[/mm] der hat die 3
> > > Elemente 0,1 und 2. Und es gibt 3!=6 verschiedene Polynome.
> > > Könnte man somit allgemein sagen, dass es in einem Körper
> > > mit q Elementen q! normierte Polynome vom Grad 2 gibt, die
> > > Produkte von Linearfaktoren sind?
> >
> >
> > Nein, das kann man nicht allgemein sagen.
> >
> > Schreib Dir das doch einmal für q=4 auf.
>
> Für q=4 gibt es 10 Möglichkeiten. Ich hab jetzt eine
> Formel gefunen, hab es mit q=3,4,5 ausprobiert und es
> klappt. Unzwar gibt es in einem Körper mit q Elementen
> [mm]\vektor{q+1 \\ 2}[/mm] normierte Polynome vom Grad 2, die
> Produkte von Linearfaktoren sind.
>
> Und da [mm]q^{2}[/mm] immer größer ist als [mm]\vektor{q+1 \\ 2}[/mm]
> (wobei ich noch am überlegen,ob ich das beweisen müsste),
Ja, das müsstest Du noch beweisen.
> gibt es Matrizen die keine Eigenwerte haben.
>
> Stimmt das nun so?
Ja.
>
> Vielen Dank
> lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok, ich hab das bewiesen.
Vielen Dank nochmal MathePower für deine Hilfe.
lg
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