normierte Räume < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Di 24.07.2007 | | Autor: | lala14 |
| Aufgabe | E normierter Raum, a, b [mm] \in [/mm] E, [mm] B_1=\{x \in E / \left|| x-a \right||=\left|| x-b \right|| = \bruch {\left|| a-b \right|| }{2}\} [/mm]
Für n>1 gilt [mm] B_n=\{x \in B_n_-_1/ \left|| x-y \right|| \le \bruch{\delta (B_n_-_1)}{2} \forall y \in B_n_-_1\}, [/mm] wobei [mm] \delta (B_n_-_1) [/mm] der durchmesser von [mm] B_n_-_1 [/mm] sein soll.
Zeige:
[mm] \delta (B_n) \le \bruch {\delta (B_n_-_1)}{2} [/mm] und
der Durchschnitt aller [mm] B_n [/mm] soll der Punkt [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] sein. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe versucht den 1-ten Teil der Aufgabe induktiv zu lösen, bin aber nicht sehr weit gekommen. Hat jemand eine bessere Idee wie man das lösen könnte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Di 24.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Induktion ist schon richtig.
n=1: Zeige [mm] \delta B_{2}\le\bruch{\delta B_{1}}{2}.
[/mm]
[mm] \delta B_{1}=\max(|x-y|) [/mm] mit x, y [mm] \in B_{1}
[/mm]
Für beliebige x, y [mm] \in B_{1} [/mm] ist [mm] |x-y|=|x-a+a-y|\le [/mm] |a-b|, also ist auch [mm] \delta B_{1}\le [/mm] |a-b| (was aber evtl. nur bei dem zweiten Teil von Bedeutung ist).
An sich reicht eigentlich nur diese Überlegung:
[mm] \delta B_{2}=\max(|x-y|) [/mm] mit x, y [mm] \in B_{2}\subset B_{1} [/mm] (also x, y sind auch in [mm] B_{1} [/mm] nach Definition).
Noch mal laut Definition von [mm] B_{2} [/mm] gilt für alle x, y [mm] \in B_{2}
[/mm]
[mm] |x-y|\le\bruch{\delta B_{1}}{2}, [/mm] da x und y auch gleichzeitig in [mm] B_{1} [/mm] sind. Somit muss auch [mm] \max(|x-y|)\le\bruch{\delta B_{1}}{2}.
[/mm]
Man kann genau die gleichen Überlegungen benutzen um den Induktionsschritt zu machen, also kommt auch direkt, ohne Induktion, zum Ziel.
Teil zwei ist dir Überlassen. Kann es sein, dass du dich da vertippt hast? Soll der Durchschnitt wirklich der Punkt [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] sein?
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Do 09.08.2007 | | Autor: | lala14 |
Nein, leider habe ich mich nicht vertippt, der Durchschnitt aller [mm] B_n [/mm] soll nur aus dem Punkt [mm] \bruch{a*b}{2} [/mm] bestehen.
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