nte Wurzel von a = 1 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Sa 06.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Man zeige : $lim _{n [mm] \rightarrow} \sqrt[n]{a} [/mm] = 1 $ |
Hallo,
mit [mm] $a^{1/n} [/mm] = [mm] exp(\frac{1}{n} [/mm] log (a) ) $
[mm] $\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} exp(\frac{1}{n} [/mm] log(a)) $
da es eine Komposition stetiger Funktionen wieder stetig ist
$= exp(log(a) [mm] lim_{n\rightarrow \infty}(1/n))$
[/mm]
Da [mm] $\forall \epsilon>0 \exists [/mm] \ [mm] N\in \IN [/mm] : [mm] |\frac{1}{n}| [/mm] < [mm] \frac{1}{\epsilon} [/mm] \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N $ ist [mm] $\frac{1}{n} \rightarrow [/mm] 0 $ für [mm] $n\rightarrow \infty$
[/mm]
Also
[mm] $\lim a_{n} [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} exp(\frac{1}{n} [/mm] log(a)) = exp(log(a) [mm] lim_{n\rightarrow \infty}(1/n)) [/mm] = exp(0) = 1 $
Ist das so OK?
Bin für jegliche Hilfe dankbar.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Sa 06.08.2011 | | Autor: | DM08 |
Sofern $a>0$ gilt sollte es so stimmen.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Sa 06.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo DM08,
> falls a >0
OK.
> MfG
Danke!
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Sa 06.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Man zeige : [mm]lim _{n \rightarrow} \sqrt[n]{a} = 1[/mm]
>
>
> Hallo,
>
>
> mit [mm]a^{1/n} = exp(\frac{1}{n} log (a) )[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} exp(\frac{1}{n} log(a)) [/mm]
>
> da es eine Komposition stetiger Funktionen wieder stetig
> ist
>
> [mm]= exp(log(a) lim_{n\rightarrow \infty}(1/n))[/mm]
wenn ich an deine anderen Fragen denke, die ich von dir in den letzten Tagen gesehen habe, frage ich mich: darfst du das ueberhaupt schon benutzen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Sa 06.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> darfst du das überhaupt benutzen?
Sei eine Funktion stetig für [mm] $a\in [/mm] D$ wenn $ [mm] lim_{x\rightarrow a} [/mm] f(x) = f(a) $
Es gilt für $f,g : D [mm] \rightarrow \IR [/mm] $ und [mm] $a\in \IR$ [/mm] : [mm] $\lambda(f+g)(x):=\lambdaf(x)+\lambdag(x) [/mm] , [mm] (f\circ [/mm] g)(x):= f(g(x))$
Und seien gegeben zwei in [mm] $a\in [/mm] A$ und $b [mm] \in [/mm] B$ stetige Funktionen f,g. Zu zeigen ist, dass dann [mm] $(f\circ [/mm] g)(x)$ stetig ist!
Es ist $lim [mm] a_{n} [/mm] = a$ , dann ist $lim [mm] f(a_{n}) [/mm] = f(a) $ und es sei [mm] $a_{n}=f(b_{n})$ [/mm] mit $lim [mm] b_{n} [/mm] = b$ und $lim [mm] g(b_{n}) [/mm] = g(b)$
Dann ist :
$lim [mm] (f\circ g)(b_{n}) [/mm] = lim [mm] f(g(b_{n})) [/mm] = lim [mm] f(a_{n}) [/mm] = f(a) = f(g(b)) = [mm] (f\circ [/mm] g) ( b) $
Darf ich es jetzt benutzen?
> LG Felix
Danke!!!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Sa 06.08.2011 | | Autor: | DM08 |
Weißt du denn, dass die Exponentialfunktion stetig ist ?
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Sa 06.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Exponentialfunktion
Zu zeigen ist, dass die Exponentialfunktion stetig ist.
[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 \ [mm] \exists \delta [/mm] >0 : |exp(x)-exp(a)| < [mm] \epsilon [/mm] $ und $ |x-a|< [mm] \delta [/mm] $
Wie wählt man jetzt am besten ein Delta und ein Epsilon?
> MfG
Danke!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Sa 06.08.2011 | | Autor: | DM08 |
Sei [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Nullfolge.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}e^{z+a_n}=\limes_{n\rightarrow\infty}e^z*e^{a_n}=e^z*\limes_{n\rightarrow\infty}e^{a_n}=e^z*e^{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}=e^z*e^0=e^z*1=e^z
[/mm]
Das Problem ist eigt. immer nur was ihr schon hattet und was nicht.
Kommt auch auf die Dozenten an.
edit : Kommt auch darauf an wie ihr was eingeführt habt. Habt ihr die Exponentialfunktion über die Reihe eingeführt ?
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Sa 06.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Folgenkriterium
Den Beweis mit dem Folgenkriterium kenne ich!
Weiss aber nicht wie man die Epsilon Delta abschätzen muss wenn man es mit dem Epsilon Delta macht...
> Einführung der Exponentialfunktion
so [mm] $exp:=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$ [/mm] und auch über $lim [mm] (1+\frac{x}{n})^{n}$
[/mm]
> MfG
Danke!!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 So 07.08.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] $|e^x-e^y| [/mm] = [mm] \left|e^x*\left(1-e^{y-x}\right)\right|$
[/mm]
das soll beliebig klein werden, für |y-x| ausreichend klein.
Und um die 0 rum kann man [mm] $e^x$ [/mm] leicht abschätzen, beispielsweise:
[mm] $1+x\leq exp:=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}\leq [/mm] 1+2x $
für x klein genug (z.B. [mm] $x<\frac12$)
[/mm]
ciao
Stefan
EDIT: Schwachsinnige Betragsstriche entfernt. Für x<0 braucht man natürlich eine andere lineare Majorante.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 So 07.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> [mm]|e^x-e^y| = \left|e^x*\left(1-e^{y-x}\right)\right|[/mm]
>
>
> das soll beliebig klein werden, für |y-x| ausreichend
> klein.
>
>
> Und um die 0 rum kann man [mm]e^x[/mm] leicht abschätzen,
> beispielsweise:
>
> [mm]1+x\leq exp:=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}\leq 1+2x[/mm]
>
> für x klein genug (z.B. [mm]|x|<\frac12[/mm])
Für x=-1/4 stimmt das aber nicht !
FRED
>
> ciao
> Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Mo 08.08.2011 | | Autor: | Blech |
Danke,
da hab ich im letzten Durchgang das ganze noch "aufhübschen" wollen, und die Betragsstriche reingesetzt. Aargh.
Also dann, ich mach mich auf die Suche nach einer geeigneten Wand, wünsche eine gute Nacht allerseits.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 So 07.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Stefan,
> Erklärung
Danke!!
> ciao
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Sa 06.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] eine beliebige Nullfolge.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}e^{z+a_n}=\limes_{n\rightarrow\infty}e^z*e^{a_n}=e^z*\limes_{n\rightarrow\infty}e^{a_n}=e^z*e^{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}=e^z*e^0=e^z*1=e^z[/mm]
Hier hast du die Stetigkeit der e-Funktion bei 0 benutzt 
LG Felix
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