nullmenge stetige fktn < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
weiss jemand wie man zeigt,dass gilt:
f,g seien stetige fktnen auf [a;b] mit f=g bis auf eine Nullmenge N
dann gilt f=g auf ganz [a;b]
Habe versucht z.z.das [mm] [a;b]\N [/mm] dicht in [a;b] liegt
aber gehts nicht noch einfacher
Danke schon mal im voraus
Brauche die Antwort bis Mo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Fr 12.11.2004 | | Autor: | spongebob |
ist schon ok
bin selbst drauf gekommen:
f-g stetig mit f-g=0 fast überall
dann |f-g|=0 fast überall und stetig,
dann [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {|f-g |dx}=0
dann |f-g|=0 wg Stetigkeit von |f-g|
etc.
für altenativen wäre ich aber dankbar
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:54 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo spongebob!
Ich nehme mal an es geht hier um das Lebesgue-Maß.
Gäbe es ein [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$ mit (ohne Einschränkung)
[mm] $f(x_0) [/mm] - [mm] g(x_0) [/mm] >0$,
dann gäbe es wegen der Stetigkeit von $f-g$ auch einen offenen Ball [mm] $B_{\delta}(x_0)$ [/mm] in [mm] $\IR$, [/mm] so dass
$f(x) - g(x) > 0$ für alle $x [mm] \in B_{\delta}(x_0) \cap [/mm] [a,b]$.
Da [mm] $B_{\delta}(x_0) \cap [/mm] [a,b]$ positives Lebesgue-Maß hat, ergibt sich der gewünschte Widerspruch.
Liebe Grüße
Stefan
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