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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Do 24.08.2006 | | Autor: | o2cando |
| Aufgabe | Für x aus R sei die Abbildung
F(x) = [mm] x^6 [/mm] − [mm] 2x^2 [/mm] + 0,5
gegeben. Gesucht sind alle reellen Nullstellen von F. Finde dafür abgeschlossene Intervalle
[mm] A_G [/mm] aus R und Abbildungen G : [mm] A_G [/mm] -> [mm] A_G, [/mm] so dass die Folge [mm] {x^k} [/mm] , definiert durch
das Iterationsverfahren
x^(k+1) = [mm] G(x^k),
[/mm]
für alle [mm] x^0 [/mm] aus [mm] A_G [/mm] jeweils gegen eine Nullstelle von F konvergiert. |
leider hab ich keine ahnung wie man diese Intervalle bestimmt, habe im dazu im Netz auch nichts gefunden.
Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.matheplanet.com/
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Hallo
Die Fragestellung ist ja eigentlich, eine Abbildung zu finden, deren Fixpunkt gerade die Nullstellen von f(x) ist. Diese selber herauszufinden, finde ich etwas schwierig.
Die Newton-Iteration ist die wohl bekannteste solcher Methoden. Unter der Voraussetzung, dass [mm]f'(\alpha)\not=0[/mm] wobei [mm]f(\alpha)=0[/mm], konvergiert sie für alle Startwerte (sofern die Funktion genügend "brav" ist). Dein Polynom konvergiert für alle x übrigens. Der arctan(x) beispielsweise hingegen bei zu grossem x nicht. Folgend die Iterationsvorschrift:
[mm]
x^{k+1}=\Phi(x^{k})=x^{k}-\bruch{f(x^{k})}{f'(x^{k})}
[/mm]
Andere wären Sekantenverfahren, Bisektionsverfahren, Stephensonsverfahren, Runge-Kutta und wie sie alle heissen. Dazu sollte sicher etwas im Internet zu finden und sonst hilft ein Numerik-Buch weiter :)
Gruss
EvenSteven
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