"nullteiler in ringen" < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | sei [mm] R=\left\{f:\IR\to\IR :f ist stetig\right\}
[/mm]
zu zeigen: der ring R ist kein integritätsbereich |
sorry erstmal für die komische schreibweise. ist mein erstes mal...
hoffe, ihr helft mir trotzdem
meine frage:
habe versucht explizit einen nullteiler in R zu finden um so zu zeigen, dass R kein integritätsbereich ist.
finde aber irgendwie keinen und habe mir auch überlegt, dass das ja eigentlich garnicht geht, weil ja [mm] R=\left\{f:\IR\to\IR :f ist stetig\right\} [/mm] und [mm] \IR\ [/mm] ein körper uns somit nullteilerfrei und ich ja eigentlich immer nur elemente aus [mm] \IR\ [/mm] miteinander multipliziere, oder!?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Fr 28.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Es ist doch für beliebige [mm] $f,g:\IR\to\IR$ [/mm] (also insbesondere für stetige) [mm] $(fg)^{-1}(0)=f^{-1}(0)\cup g^{-1}(0)$. [/mm] Du musst also nur zwei stetige [mm] $f,g\in [/mm] R$ ungleich der 0-funktion finden, deren Nullstellenmengen ganz R überdecken, denn dann ist nach obigem [mm] $(fg)^{-1}(0)=\IR$, [/mm] also $fg=0$.
Gruß, Robert
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Hallo,
es geht ja um den Ring der stetigen Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR. [/mm] Addition und Multiplikation ist dabei ja punktweise definiert, also (f*g)(x)=f(x)*g(x).
Es ist doch jetzt zu zeigen, dass dieser Ring kein Integritätsbereich, also nicht nullteilerfrei ist. Aber wie soll das gehen? Es muss dann ja eine Funktion g ungleich der Nullfunktion geben, so dass (f*g)(x)=0 ist, oder?
Kann mir da leider keine konkrete Funktion zu vorstellen.
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Hallo,
nimm doch mal die Funktion
[mm] f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \\ x, & \mbox{für }x\ge 0 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Nun bastele Dir dazu eine Funktion g, die an den Stellen an denen [mm] f(x)\not=0 [/mm] ist =0 ist und umgekehrt.
Dieses eine pärchen reicht ja schon, um "Integritätsbereich" zu verderben.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Sa 29.11.2008 | | Autor: | new_franky |
Ok, wohl wahr. An solche Funktionen hatte ich überhaupt nicht gedacht.
Danke!
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das war ja gar nicht so schwer...
hatte irgendwie ein brett vorm kopf, weil ich dachte, die fuktionen müssetn für alle x aus [mm] \IR\ [/mm] ungleich 0 sein
aufjedenfall danke für die die antwort
hat sehr geholfen
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