obere Dreiecksmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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guten Abend zusammen,
ich bräuchte eure hilfe. Wie bestimmt man denn zu einer Matrix eine obere Dreiecksmatrix. Wie man eine Matrix diagonalisiert, weiß ich, aber wie man ne obere Dreiecksmatrix bekommt. Da habe ich absolut keine Ahnung.
Könntet ihr mir vllt bei dieser Matrix helfen? Und kann man aus der überhaupt eine obere Dreieckmatrix machen?
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Beste Grüße
Kano
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Hallo JigoroKano,
> guten Abend zusammen,
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> ich bräuchte eure hilfe. Wie bestimmt man denn zu einer
> Matrix eine obere Dreiecksmatrix. Wie man eine Matrix
> diagonalisiert, weiß ich, aber wie man ne obere
> Dreiecksmatrix bekommt. Da habe ich absolut keine Ahnung.
> Könntet ihr mir vllt bei dieser Matrix helfen? Und kann
> man aus der überhaupt eine obere Dreieckmatrix machen?
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
Wende auf diese Matrix den Gauß-Algorithmus an.
>
> Beste Grüße
> Kano
Gruss
MathePower
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Ok ich glaube ich habe undeutlich gefragt. Man soll eine Matrix S finden, so dass:
[mm] S^{-1}*A*S [/mm] = obere Dreiecksmatrix ergibt.
und ich habe keine Ahung, wie man diese Matrix S bestimmt...
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Hallo,
Du suchst ja jetzt eine Basis, bzgl derer die Darstellungsmatrix der durch A bzgl. der Standardbasis dargestellten Abbildung eine Diagonalmatrix ist.
Du suchst also drei linear unabhängige Vektoren [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] mit
[mm] Av_1=\lambda v_1
[/mm]
[mm] Av_2=k*v_1+lv_2
[/mm]
[mm] av_3=rv_1+sv_2+tv_3.
[/mm]
Zumindest zu [mm] v_1 [/mm] wird Dir etwas einfallen, denke ich.
Danach können wir weitersehen.
Gruß v. Angela
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ok.... also das char. polynom ist: [mm] (x-1)^{3}
[/mm]
der eigenraum: Eig(A,1)=Kern [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] =span{ [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] }
[mm] A*v_{2}= \lambda v_{2} [/mm] wobei [mm] \lambda=1 [/mm] weil 1 ein Eigenwert ist und [mm] v_{2} [/mm] ist der zweite Eigenvektor...
was sagst ud dazu?
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Hallo JigoroKano,
> ok.... also das char. polynom ist: [mm](x-1)^{3}[/mm]
>
> der eigenraum: Eig(A,1)=Kern [mm]\pmat{1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> =span{ [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0} \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Den Kern mußt Du nochmal nachrechen.
>
> [mm]A*v_{2}= \lambda v_{2}[/mm] wobei [mm]\lambda=1[/mm] weil 1 ein Eigenwert
> ist und [mm]v_{2}[/mm] ist der zweite Eigenvektor...
>
> was sagst ud dazu?
Gruss
MathePower
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Awwww verdammt :D :D man
also: Eig(A,1)=Kern [mm] \pmat{1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] = span{ [mm] \vektor{0\\0\\1} \vektor{-1\\1\\0} [/mm] }
so trotzdem steht meine aussage noch, dass
[mm] A*v_{1}= \lambda*v_{1} [/mm] ist wobei [mm] v_{1}= \vektor{0\\0\\1} [/mm] ist und [mm] \lambda=1
[/mm]
aber wie es weitergehen soll, weiß ich immer noch nicht...
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> Awwww verdammt :D :D man
>
> also: Eig(A,1)=Kern [mm]\pmat{1 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> = span{ [mm]\vektor{0\\
0\\
1} \vektor{-1\\
1\\
0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Hallo,
das ist schon wieder falsch!
Vielleicht versuchst Du nun, nachdem Du ein wenig geschlafen hast, nochmal die Matrix A-1*E hinzuschreiben und ihren Kern zu notieren.
>
> so trotzdem steht meine aussage noch, dass
>
> [mm]A*v_{1}= \lambda*v_{1}[/mm] ist wobei [mm]v_{1}= \vektor{0\\
0\\
1}[/mm]
> ist und [mm]\lambda=1[/mm]
Na, wenn Du das mal nachgerechnet hättest, dann hättest Du gemerkt, daß Dein Vektor [mm] v_1 [/mm] überhaupt kein Eigenvektor ist.
>
> aber wie es weitergehen soll, weiß ich immer noch nicht...
Den Eigenvektor (Du wirst feststellen, daß der Eigenraum die Dimension 1 hat) [mm] v_1 [/mm] kannst Du in der Tat als ersten Basisvektor nehmen.
Danach suchst Du einen Vektor [mm] v_2, [/mm] für welchen etwa gilt
[mm] Av_2=1*v_1+k*v_2.
[/mm]
(Überleg Dir, warum Du so einen suchst!)
Gruß v. Angela
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ohhhh gott wie peinlich :D
jetzt habe ich es aber...
also: [mm] kern\pmat{1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0} [/mm] = span{ [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] }
so und [mm] A*v_{1}= \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \lambda*v_{1} [/mm] wobei [mm] \lambda=1 [/mm] ist...
so ist es jetzt endlich mal richtig :D ?! und wenn ja wie soll ich weiter machen  ?
beste grüße Kano
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Hallo JK,
> ohhhh gott wie peinlich :D
>
> jetzt habe ich es aber...
>
> also: [mm]kern\pmat{1 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= span{ [mm]\vektor{-1 \\
1 \\
0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> so und [mm]A*v_{1}= \vektor{-1 \\
1 \\
0}[/mm] = [mm]\lambda*v_{1}[/mm] wobei [mm]\lambda=1[/mm] ist...
Gruß
schachuzipus
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> und wenn ja wie
> soll ich weiter machen ?
>
Hallo,
das hatte ich doch schon geschrieben:
Du sollst einen (v. [mm] v_1 [/mm] linear unabhängigen) Vektor [mm] v_2 [/mm] suchen mit [mm] Av_2=kv_1+lv_2,
[/mm]
denn Deine Matrix soll ja in der zweiten Spalte so aussehen: [mm] \vektor{\*\\\*\\0}.
[/mm]
Du kannst dabei k=1 wählen.
Gruß v. Angela
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