obere und untere Grenze von M < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 Mi 08.10.2008 | | Autor: | kaktus |
| Aufgabe | | R>1 und M die Menge der reellen Zahlen [mm] \vmat{ \bruch{1}{z^{2}+1} }, [/mm] wobei z alle komplexen Zahlen vom Betrag R durchläuft. Bestimme die obere und untere Grenze von M. |
Ich bin mit der Aufgabenstellung leider etwas überfordert. Was heiß z druchläuft alle komplexen Zahlen vom Betrag R?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Max1603 |
> Was heiß z druchläuft alle komplexen Zahlen vom Betrag R?<
d. h. dass für das z [mm] \in \IC [/mm] soll gelten |z|=R
ich hoffe du weißt wie | | au [mm] \IC [/mm] definiert sind :))
Um die Aufgabenstellung zu bearbeiten, guck dir einfach folgende Menge an:
M:={ [mm] \vmat{ \bruch{1}{z^{2}+1} } [/mm] : [mm] z\in \IC [/mm] und |z|=R}
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Mi 08.10.2008 | | Autor: | kaktus |
> ich hoffe du weißt wie | | au [mm]\IC[/mm] definiert sind :))
[mm] \wurzel{a^{2}+b^{2}} [/mm]
was mich noch etwas irritiert ist was geschieht mit der hoch 2 von z fällt diese weg wenn ich |z| = R setze?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Mi 08.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein, wie kommst Du auf diese Idee ????
Betrachte nur solche z \ in [mm] \IC [/mm] für die |z|=R ist. Aus diesen z bastelst du jeweils
[mm] \bruch{1}{z^2+1} [/mm] und nimmst davon den Betrag. So ensteht die Menge , die Du untersuchen sollst.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Do 09.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
[mm] |z|=\wurzel{a^2+b^2}
[/mm]
[mm] |z^2|=a^2+b^2
[/mm]
oder irre ich mich dabei komplett?
Wie rechne ich dann hier weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Do 09.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Es ist R>1 und
M:={ [mm] \vmat{\bruch{1}{z^{2}+1} } [/mm] : [mm] z\in \IC [/mm] und |z|=R}
Mit der umgekehrten Dreiecksungl. und der Dreiecksungl. ergibt sich:
[mm] R^2-1 [/mm] = [mm] |R^2-1| [/mm] = | [mm] |z|^2-1 [/mm] | [mm] \le |z^2+1| \le |z|^2+1 [/mm] = [mm] R^2+1.
[/mm]
Geht man zum Kehrwert über, so erhält man:
[mm] \bruch{1}{R^2+1} \le \vmat{ \bruch{1}{z^{2}+1} } \le \bruch{1}{R^2-1}.
[/mm]
D.H.: [mm] \bruch{1}{R^2+1} [/mm] ist eine untere Schranke von M und
[mm] \bruch{1}{R^2-1} [/mm] ist eine obere Schranke von M.
Für z = R ist [mm] \vmat{ \bruch{1}{z^{2}+1} } [/mm] = [mm] \bruch{1}{R^2+1}, [/mm] somit:
inf M = min M = [mm] \bruch{1}{R^2+1}.
[/mm]
Für z = iR ist [mm] \vmat{ \bruch{1}{z^{2}+1} } [/mm] = [mm] \bruch{1}{R^2-1}, [/mm] somit:
sup M = max M = [mm] \bruch{1}{R^2-1}.
[/mm]
FRED
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