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hallo,
ich soll die obersumme von der funktion [mm] \wurzel{x} [/mm] berechnen.
unswar soll A der flächeninhalt der fläche unter dem graphen sein.
über den intervall [0;4]
meine frage ist, wie berechne ich die obersumme für 4.
würde mich wirklich freuen, wenn mir jemand helfen würde.
danke im voraus und liebe grüße sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Do 21.09.2006 | | Autor: | ullim |
Als erstes definieren wir eine Folge [mm] x_i [/mm] die den Bereich von [0, 4] zerlegt.
[mm] x_i [/mm] = [mm] \bruch{4}{N^{2}}*i^{2}
[/mm]
Die Obersumme berechnet sich aus
O = [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{N}(x_i [/mm] - [mm] x_{i-1})*\wurzel{x_i}
[/mm]
wenn man die definierte Folge [mm] x_i [/mm] einsetzt, ergibt sich
O = [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} \bruch{4}{N^{2}}\summe_{i=1}^{N}(i^{2}-(i-1)^{2})*\bruch{2}{N}*i \Rightarrow
[/mm]
O = [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} \bruch{8}{N^{3}}\summe_{i=1}^{N}(2i-1)*i \Rightarrow
[/mm]
O = [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} (\bruch{16}{N^{3}}\summe_{i=1}^{N}i^{2}-\bruch{8}{N^{3}}\summe_{i=1}^{N}i) \Rightarrow
[/mm]
O = [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} (\bruch{16}{N^{3}}\bruch{N}{6}(N+1)(2N+1)-\bruch{8}{N^{3}}\bruch{N}{2}(N+1)) \Rightarrow
[/mm]
O = [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} \bruch{16}{6}(1+\bruch{1}{N})*(2+\bruch{1}{N}) [/mm] - [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} \bruch{8}{N^{3}}*\bruch{N}{2}*(N+1) \Rightarrow
[/mm]
O = [mm] \bruch{16}{3}
[/mm]
da der letzte Term gegen 0 konvergiert.
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hallo, erstmals danke für deine lange und ausführliche antwort...
nur habe ich paar fragen dazu, bitte..
also bei mir steht in der nächsten aufgabe, dass der A(flächeninhalt) von dem graphen [mm] x^2 [/mm] und y=4 eingeschlossen ist, A= 16/3 beträgt.......
dies sollte ich mit symmetriebetrachtungen beweisen, nur weiss ich hier leider nciht weiter, kannst du vielleicht einen zusammenhang bringen, bitteß
ALSO was die obersumme angeht, ich habe es auch gerechnet und auch vom programm überprüfen lassen, und es kommt nich 16/3 raus.
?????????????????????
lg sandra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Do 21.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo sandra
Die summe =16/3 für [mm] \wurzel{x} [/mm] hat dir ullim doch vorgerechnet.
hast du etwa [mm] x^{2} [/mm] von x=0 bis x=4 berechnet? das ist auch nicht 16/3. du sollst ja die Fläche zw. y=0 und y=4 sehen! und dazu zeichne dir ne Skizze von [mm] \wurzel{x} [/mm] und von [mm] x^{2} [/mm] dann siehst du, wozu die symetrisch sind!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:47 Do 21.09.2006 | | Autor: | ullim |
Bzgl. der Obersummenberechnung gilt folgendes
Die Obersumme oder auch die Untersumme konvergiert gegen [mm] \integral_{0}^{4}{x^{2} dx} [/mm] wenn die Funktion integrierbar ist nach Riemann.
Für das angeführte bestimmte Integral gilt
[mm] \integral_{0}^{4}{\wurzel{x} dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}*\wurzel{x^{3}} [/mm] = [mm] \bruch{16}{3}
[/mm]
Insofern muss bei Deiner Rechnung etwas falsch sein.
Bzgl. der Symetrie habe ich noch ein Bild angefügt aus dem der Zusammenhang klar werden müsste.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
mfg ullim
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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hallo, nochmal wirklich danke...
also, ich muss noch für die funktion f(x):= [mm] \wurzel{x} [/mm] im intervall [0;4] die
[mm] \overline{S}6 [/mm] und [mm] \overline{S}8 [/mm] berechnen.
soll ich denn in deine rechnung anstelle der 4 einfach 6 einsetzen?????
nochmals vielen daNK, an ihnen
lg sandra
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Do 21.09.2006 | | Autor: | ullim |
Hallo Sandra,
was ist den S6 und S8?
ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Fr 22.09.2006 | | Autor: | sandramil |
hallo,
also, ich hatte bei der aufgabe die funktion f(x):= [mm] \wurzel{x} [/mm] über dem intervall angegeben.
im weiteren aufgabenteil stand, dass ich die [mm] obersumme,\overline{S} [/mm] soll ja die neue schreibweise sein, bei, also als index stand einmal 4, einmal 6 und einmal 8. ich glaube es bezeichent das n , welches ja allgemein ist.
ich hoffe , dass sie es nachvollziehen können (konnte mich glaube ich nicht so ausdrücken, sorry)
lg sandra
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:11 Fr 22.09.2006 | | Autor: | ullim |
Kann es sein, dass n die Anzahl der Zerlegungen des Intervalls [0 , 4] ist? In meiner Rechnung habe ich ja die Anzahl der Zerlegungen gegen Unendlich gehen lassen. Das würde auch die unterschiedlichen Ergebnisse von Dir und mir erklären.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Fr 22.09.2006 | | Autor: | ullim |
Wenn meine Annahme stimmt, würde folgendes gelten
[mm] O_4 [/mm] = 6,25
[mm] O_6 [/mm] = 5,963
[mm] O_8 [/mm] = 5,813
[mm] O_\infty [/mm] = [mm] \bruch{16}{3} [/mm] = 5,333
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Fr 22.09.2006 | | Autor: | ullim |
Bzgl. der Symetrie ist das Ganze wie folgt zu verstehen:
Das Integral [mm] \integral_{0}^{2}{(4 - x^{2}) dx} [/mm] beschreibt die Fläche unterhalb der y-Linie y=4 abzgl. der Fläche unter der Kurve [mm] x^{2}.
[/mm]
Das entspricht aber der Fläche unter der Kurve [mm] \wurzel{x} [/mm] also [mm] \integral_{0}^{4} \wurzel{x} [/mm] wie man durch anschauen des Bildes sofort sieht.
mfg ullim
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