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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:12 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Intelo |
Sehr geehrte Forumfreunde,
ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe:
Eine Investmentbank hat vier risikobehaftete Anleihen (Vattenfall, VW, Microsoft und Fegro). Diese erzielen in Abhängigkeit von vier möglichen Entwicklungen (Boom, Aufschwung, Rezession und Krise) folgende Zahlungsströme:
A= [mm] \pmat{ 2 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & -1}
[/mm]
1. Zeile: Boom
2. Zeile: Aufschwung
3. Zeile: Rezession
4. Zeile: Krise
1. Spalte: Vattenfall
2. Spalte: VW
3. Splate: Microsoft
4. Spalte: Fegro
a) Berechnen Sie, wie die Investmentbank einen Zahlungsstrom von 1€ für dei Rezession bekommt, jedoch in den anderen drei Entwicklungen einen Zahlungsstrom von 0€ erhält.
b) Welche Anteile müssen (ver-)gekauft werden, um einen Kupon zu generieren, der in allen vier möglichen Entwicklungen eine Auszahlung von 1 € garantiert (risikolos).
Ich kann leider nur einen Ansatz zu b) liefern.
Zunächst habe ich aus der Matrix vier Vektoren erstellt.
Vattenfall: [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
VW: [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Microsoft: [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
Fegro: [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
[mm] \lambda_{1} \vektor{2 \\ 1 \\ 2 \\ -1}+ \lambda_{2} \vektor{2 \\ 0 \\ 2 \\ 1}+ \lambda_{3} \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -1}+ \lambda_{4} \vektor{0 \\ -1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Im nächsten Schritt habe ich nun ein Gleichungssystem erstellt und für [mm] \lambda_{1}=1 \lambda_{2}=0 \lambda_{3}=-0,5 \lambda_{4}=0 [/mm] raus bekommen.
Heißt es, dass wir einmal Vattenfall kaufen und 0,5 Microsoft verkaufen müssen. VW und Fegro brauchen wir nicht.
Ich würde mich sehr über jede Hilfe freuen.
Gruß
Intelo
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> Sehr geehrte Forumfreunde,
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> ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe:
>
> Eine Investmentbank hat vier risikobehaftete Anleihen
> (Vattenfall, VW, Microsoft und Fegro). Diese erzielen in
> Abhängigkeit von vier möglichen Entwicklungen (Boom,
> Aufschwung, Rezession und Krise) folgende Zahlungsströme:
>
> A= [mm]\pmat{ 2 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & -1}[/mm]
>
> 1. Zeile: Boom
> 2. Zeile: Aufschwung
> 3. Zeile: Rezession
> 4. Zeile: Krise
>
> 1. Spalte: Vattenfall
> 2. Spalte: VW
> 3. Splate: Microsoft
> 4. Spalte: Fegro
>
> a) Berechnen Sie, wie die Investmentbank einen
> Zahlungsstrom von 1€ für dei Rezession bekommt, jedoch
> in den anderen drei Entwicklungen einen Zahlungsstrom von
> 0€ erhält.
> b) Welche Anteile müssen (ver-)gekauft werden, um einen
> Kupon zu generieren, der in allen vier möglichen
> Entwicklungen eine Auszahlung von 1 € garantiert
> (risikolos).
>
> Ich kann leider nur einen Ansatz zu b) liefern.
>
> Zunächst habe ich aus der Matrix vier Vektoren erstellt.
>
> Vattenfall: [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2 \\ -1}[/mm]
> VW: [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> Microsoft: [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> Fegro: [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1} \vektor{2 \\ 1 \\ 2 \\ -1}+ \lambda_{2} \vektor{2 \\ 0 \\ 2 \\ 1}+ \lambda_{3} \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -1}+ \lambda_{4} \vektor{0 \\ -1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
So weit schonmal gut, wobei obiger Ausdruck gleich
[mm] \lambda_{1} \vektor{2 \\ 1 \\ 2 \\ -1}+ \lambda_{2} \vektor{2 \\ 0 \\ 2 \\ 1}+ \lambda_{3} \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -1}+ \lambda_{4} \vektor{0 \\ -1 \\ 1 \\ -1}= \pmat{ 2 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & -1}\vektor{\lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} \\ \lambda_{4}}=A\lambda [/mm] ist.
Nun braucht dein Gleichungssystem aber noch eine rechte Seite. Du musst jetzt [mm] A\lambda [/mm] gleich dem Vektor des gewünschten Zahlungsstroms setzen, in
(a) also [mm] A\lambda=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, [/mm] in (b) [mm] A\lambda=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Damit hast du in jedem Fall ein lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten, was dann zu lösen ist.
> Im nächsten Schritt habe ich nun ein Gleichungssystem
> erstellt und für [mm]\lambda_{1}=1 \lambda_{2}=0 \lambda_{3}=-0,5 \lambda_{4}=0[/mm]
> raus bekommen.
Wie du auf die Lösung gekommen bist, erschließt sich mir nicht. Sie liefert jedenfalls nicht die gewünschte Auszahlung.
>
> Heißt es, dass wir einmal Vattenfall kaufen und 0,5
> Microsoft verkaufen müssen. VW und Fegro brauchen wir
> nicht.
>
> Ich würde mich sehr über jede Hilfe freuen.
>
> Gruß
>
> Intelo
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