offene Menge bzgl. Metrik < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Di 22.04.2008 | | Autor: | cisina |
Kann mir jemand erklären, was es mit der Offenheit von Mengen bzgl einer metrik auf sich hat?
Mir ist die Definiton schon bekannt, aber ich verstehe es irgendwie nicht.
Vorallem nicht folgendes?
warum hängt die offenheit einer Menge von der Metrik ab?
warum sind bei der Diskreten Metrik alle Mengen offen?
Warum ist etwa [0, 1] nicht offen in R (d.h. aufgefaßt als Teilmenge von
R), wohl aber offen in sich selbst (d.h. aufgefaßt als Teilmenge des metrischen Raums ([0, 1], d[0,1])? Wenn dann müsste ich doch bei beiden keine Kugeln finden die ich um jedes x-legen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 Mi 23.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo cisina!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Kann mir jemand erklären, was es mit der Offenheit von
> Mengen bzgl einer metrik auf sich hat?
Ganz allgemein ist der Begriff der offenen Menge auch ohne Metrik definiert. Ich finde die folgende Charakterisierung recht anschaulich: Eine offene Menge ist eine, die keine Randpunkte enthält. Eine Menge ist abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält. (Ein Randpunkt ist ein Punkt, der in jeder Umgebung sowohl Punkte enthält, die zur Menge gehören, als auch solche, die nicht zur Menge gehören.)
Daraus ergibt sich, dass eine Menge, die keine Randpunkte hat, zugleich offen und abgeschlossen ist.
In einem metrischen Raum X folgt aus der Definition des Abstands $d(x,y)$ die Definition von offen. Am einfachsten zu sehen ist das für eine offene Kugel:
[mm] B_r(x) = \{y\in X\mid d(x,y) < r \} [/mm]
(Das ist im [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der üblichen Metrik das Innere eines Kreises, im [mm] $\IR^3$ [/mm] das Innere einer Kugel.
Die Randpunkte dieser offenen Kugel sindim [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der üblichen Metrik die Kreislinie, im [mm] $\IR^3$ [/mm] die Kugeloberfläche.)
> Mir ist die Definiton schon bekannt, aber ich verstehe es
> irgendwie nicht.
> Vorallem nicht folgendes?
> warum hängt die offenheit einer Menge von der Metrik ab?
> warum sind bei der Diskreten Metrik alle Mengen offen?
In der diskreten Metrik ist eine Menge schon offen, wenn sie nur aus einem einzigen Punkt besteht. Das liegt daran, dass durch die diskrete Metrik alle Punkte isoliert sind, denn alle anderen Punkte haben ja immer den gleichen Abstand von diesem einen Punkt. Daher gibt es keine Randpunkte. Das gleiche gilt aber für jede Punktmenge: alle Punkte, die nicht zur Menge gehören, haben immer den gleichen Abstand von alle Punkten, die zur Menge gehören.
Mit der diskreten Metrik gibt es nur zwei Sorten offene Kugeln: solche, die genau einen Punkt enthalten (r kleiner als der Mindestabstand), und solche, die gleich dem gesamten Raum sind (r [mm] $\ge$ [/mm] dem Mindestabstand).
> Warum ist etwa [0, 1] nicht offen in R (d.h. aufgefaßt als
> Teilmenge von
> R), wohl aber offen in sich selbst (d.h. aufgefaßt als
> Teilmenge des metrischen Raums ([0, 1], d[0,1])? Wenn dann
> müsste ich doch bei beiden keine Kugeln finden die ich um
> jedes x-legen kann?
Das sind zwei verschiedene Dinge. Die Grundmenge (also die Menge aller Punkte) eines metrischen oder topologischen Raumes ist per Definition immer offen (und genauso immer abgeschlossen). Daher ist $[0,1]$ offen als Teilmenge des metrischen Raumes $([0,1],d)$. Das Gleiche gilt für die leere Menge: die ist auch immer offen und abgeschlossen.
Einen großen Unterschied macht es, welche echten nichtleeren Teilmengen eines metrischen Raumes offen oder abgeschlossen sind. Das hängt von der Metrik ab.
Viele Grüße
Rainer
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