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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Di 28.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zeige Sie:
Für einen metrischen Raum $(X,d)$ gilt:
(i) Die Vereinigung offener Mengen ist offen. |
Moin, moin!
Zu (i):
Sei [mm] $O=\bigcup_{i\in I}O_i$, $O_i$ [/mm] offen für alle [mm] $i\in [/mm] I$.
Zu zeigen ist, daß es für jedes [mm] $x\in [/mm] O$ eine offene Kugel $B(x,r)$ um $x$ mit Radius $r>0$ gibt, sodaß [mm] $B(x,r)\subseteq [/mm] O$.
Wähle ein beliebiges [mm] $x\in [/mm] O$.
Dann ex. ein [mm] $i\in [/mm] I: [mm] x\in O_i$. [/mm] Für dieses n.V. offene [mm] $O_i$ [/mm] ex. ein [mm] $r_i>0: B(x,r_i)\subseteq O_i$. [/mm] Also wähle einfach [mm] $r:=r_i$, [/mm] dann ist [mm] $B(x,r)\subseteq [/mm] O$.
Das gilt auch für alle anderen [mm] $x\in [/mm] O$, denn $x$ war zufällig gewählt.
Also ist $O$ eine offene Menge.
Eine kurze Reaktion wäre schön, danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Di 28.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeige Sie:
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> Für einen metrischen Raum [mm](X,d)[/mm] gilt:
>
> (i) Die Vereinigung offener Mengen ist offen.
>
> Moin, moin!
>
> Zu (i):
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> Sei [mm]O=\bigcup_{i\in I}O_i[/mm], [mm]O_i[/mm] offen für alle [mm]i\in I[/mm].
>
> Zu zeigen ist, daß es für jedes [mm]x\in O[/mm] eine offene Kugel
> [mm]B(x,r)[/mm] um [mm]x[/mm] mit Radius [mm]r>0[/mm] gibt, sodaß [mm]B(x,r)\subseteq O[/mm].
>
> Wähle ein beliebiges [mm]x\in O[/mm].
> Dann ex. ein [mm]i\in I: x\in O_i[/mm].
> Für dieses n.V. offene [mm]O_i[/mm] ex. ein [mm]r_i>0: B(x,r_i)\subseteq O_i[/mm].
> Also wähle einfach [mm]r:=r_i[/mm], dann ist [mm]B(x,r)\subseteq O[/mm].
Schreibe einfach: es ex. ein r>0 mit [mm] B(x,r)\subseteq O_i. [/mm] Dann ist auch [mm] $B(x,r)\subseteq [/mm] O$
Fertig.
>
> Das gilt auch für alle anderen [mm]x\in O[/mm], denn [mm]x[/mm] war
> zufällig gewählt.
Diesen letzten Satz kannst Du Dir sparen
FRED
>
> Also ist [mm]O[/mm] eine offene Menge.
>
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>
>
> Eine kurze Reaktion wäre schön, danke!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Di 28.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Dankesehr!
Jetzt muss ich noch zeigen, daß der Schnitt endlich vieler offener Mengen in einem metrischen Raum eine offene Menge ist.
Da kann ich einfach [mm] $r:=\min\left\{r_1,...,r_n\right\}$ [/mm] wählen.
Wieso gilt das nur für endlich viele offene Mengen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Di 28.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Dankesehr!
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> Jetzt muss ich noch zeigen, daß der Schnitt endlich vieler
> offener Mengen in einem metrischen Raum eine offene Menge
> ist.
>
> Da kann ich einfach [mm]r:=\min\left\{r_1,...,r_n\right\}[/mm]
> wählen.
Ich denke, Du meinst das richtige.
>
> Wieso gilt das nur für endlich viele offene Mengen?
Betrachte die in [mm] \IR [/mm] offenen mengen [mm] O_n:=(-1/n, [/mm] 1/n) (n [mm] \in \IN)
[/mm]
Der Durchschnitt dieser Mengen ist nicht offen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Di 28.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
> Betrachte die in [mm]\IR[/mm] offenen mengen [mm]O_n:=(-1/n,[/mm] 1/n) (n [mm]\in \IN)[/mm]
>
> Der Durchschnitt dieser Mengen ist nicht offen
Ah, denn der Durchschnitt ist doch [mm] $\left\{0\right\}$ [/mm] und in einem metrischen Raum sind einelementige Mengen abgeschlossen.
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Weitere Frage (ich bin grade in Fahrt... ):
Zeige:
[mm] $A\subseteq [/mm] (X,d)$ ist genau dann offen, wenn A Umgebung jedes seiner Punkte ist.
Beweis:
Hin-Richtung:
Sei A offen. Dann ex. für alle [mm] $a\in [/mm] A$ ein $r>0$, s.d. [mm] $a\in B(a,r)\subseteq [/mm] A$. Damit ist A aber Umgebung jedes seiner Punkte.
Rück-Richtung:
Sei A Umgebung jedes seiner Punkte, dann enthält A für jedes seiner Punkte eine offene Kugel. Damit ist A aber offen.
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Hallo dennis2,
> > Betrachte die in [mm]\IR[/mm] offenen mengen [mm]O_n:=(-1/n,[/mm] 1/n) (n [mm]\in \IN)[/mm]
>
> >
> > Der Durchschnitt dieser Mengen ist nicht offen
>
> Ah, denn der Durchschnitt ist doch [mm]\left\{0\right\}[/mm] und in
> einem metrischen Raum sind einelementige Mengen
> abgeschlossen.
>
>
> --------------
>
> Weitere Frage (ich bin grade in Fahrt...):
>
> Zeige:
>
> [mm]A\subseteq (X,d)[/mm] ist genau dann offen, wenn A Umgebung
> jedes seiner Punkte ist.
>
> Beweis:
>
> Hin-Richtung:
>
> Sei A offen. Dann ex. für alle [mm]a\in A[/mm] ein [mm]r>0[/mm], s.d. [mm]a\in B(a,r)\subseteq A[/mm].
> Damit ist A aber Umgebung jedes seiner Punkte.
>
> Rück-Richtung:
>
> Sei A Umgebung jedes seiner Punkte, dann enthält A für
> jedes seiner Punkte eine offene Kugel. Damit ist A aber offen.
Das sieht OK aus.
>
LG
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