offene, abgeschlossene Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:57 Fr 24.04.2009 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe 1 | Welche der folgenden Mengen im Euklidischen [mm] \IR^{2} [/mm] sind offen/abgeschlossen, und welchen Rand haben die Mengen? Begründen Sie Ihre Antwort.
(i) A := {(x,y) | 1< [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] < 4}
(ii) B := {(1/n,1/m) | n,m Element natürlicher Zahlen}
(iii) C := [0,1] x {x | x = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} x_{n} [/mm] * [mm] 3^{-n}, x_{n} [/mm] Element {0,2}}
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| Aufgabe 2 | | Beweisen Sie, dass diam(M) = diam [mm] (\overline{M}) [/mm] gilt. |
Hallöchen,
Ich habe hier schon einige Überlegungen, aber ich hatte das Problem, dass ich irgendwie nicht auf die innere Menge komme. Dazu muss ich aber sagen, dass ich mir die Menge in den dritten Teil nicht vorstellen kann. Könntet ihr mal schauen ob das richtig ist und bitte mal Ideen für das Fehlende gebt. Vielen dank schon mal im Voraus.
(i) die erste Menge ist auf jeden Fall offen, da der Rand {(x,y) für das gilt (1=x2+y2 und 4 = x2+y2)} und diese Menge ist eindeutig nicht in A enthalten, und die innere menge ist gleich A, d.h. Astrich ist ungleich A und damit offen
(ii) die zweite Menge ist auf jeden Fall abgeschlossen, da nur naturliche Zahlen betrachtet werden und damit keine offenen Epsilonkugeln, hier weiß ich aber nicht was das Innere und der Rand ist
(iii) hier hab ich so überhaupt gar keine Ahnung und wollte fragen ob mir hier jemand mal helfen kann..
Meine Überlegung zu Aufgabe 2 ist:
dass dies nur eintreffen kann, wenn die Menge M abgeschlossen ist, denn dann ist für mich vollkommen logisch, dass der Durchmesser der gleiche ist. Oder seh ich das falsch und wie zeige ich das richtig?
Vielen Dank!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Fr 24.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Beweisen Sie, dass diam(M) = diam [mm](\overline{M})[/mm] gilt.
Wie ist $diam(M)$ denn definiert? Gilt $diam(M) = [mm] \sup \{ |z| \mid z \in M \}$?
[/mm]
In dem Fall zeige zuerst [mm] $diam(\overline{M}) \ge [/mm] diam(M)$ (einfach). Dann nimm dir eine Folge [mm] $z_n \in \overline{M}$ [/mm] mit [mm] $|z_n| \to diam(\overline{M})$, [/mm] und konstruiere eine Folge [mm] $z_n' \in [/mm] M$ mit [mm] $|z_n' [/mm] - [mm] z_n| \to [/mm] 0$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 28.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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