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| Aufgabe | Sind A,B [mm] \subseteq R^3 [/mm] offen, dann ist auch A [mm] \cap [/mm] B offen?
Sind A,B [mm] \subseteq R^2 [/mm] abgeschlossen, dann ist auch A \ B abgeschlossen? |
Also bei der ersten Frage stellt sich mir die Frage, wenn ich jezt z.b eine Kugel mit dem Radius kleiner 2 nehme ist ja die Menge offen und meine zweite Menge soll ne Kugel mit Radius kleiner 1 sein, ist dann Meine Menge [mm] A\capB [/mm] abgeschlossen? Weil wenn die Punkte zu A und B gehören, dann hat man doch Randpunkte die zur Menge gehören oder bin ich da auf dem Holzweg?
Und zur zweiten Frage, wie sieht es aus wenn ich z.B zwei Quadrate nehme die abgeschlossen sind die eine gemeinsame Seite haben dann würde ich doch ein offenes Quardrat bekommen oder?
z.B wenn ich als Menge
[mm] A=\{(x,y)\in R^{2}| 0\le x \le1, 0\le y \le1\}
[/mm]
[mm] B=\{(x,y)\in R^{2}| 1\le x \le2, 0\le y \le1\}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo JohnDoe42 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Sind A,B [mm]\subseteq R^3[/mm] offen, dann ist auch A [mm]\cap[/mm] B
> offen?
>
> Sind A,B [mm]\subseteq R^2[/mm] abgeschlossen, dann ist auch A \ B
> abgeschlossen?
> Also bei der ersten Frage stellt sich mir die Frage, wenn
> ich jezt z.b eine Kugel mit dem Radius kleiner 2 nehme ist
> ja die Menge offen und meine zweite Menge soll ne Kugel mit
> Radius kleiner 1 sein, ist dann Meine Menge [mm]A\capB[/mm]
> abgeschlossen?
Was ist [mm]A[/mm] ??
> Weil wenn die Punkte zu A und B gehören,
Was ist [mm]A, B[/mm] ??
> dann hat man doch Randpunkte die zur Menge gehören oder
> bin ich da auf dem Holzweg?
Wenn [mm]A[/mm] die offene Kugel mit dem größeren Radius und [mm]B[/mm] die mit dem kleineren Radius ist, dass ist [mm]B\subset A[/mm], also [mm]A\cap B=B[/mm]
Und das ist offen.
Versuche einen allg. Beweis, die obige Aussage stimmt!
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> Und zur zweiten Frage, wie sieht es aus wenn ich z.B zwei
> Quadrate nehme die abgeschlossen sind die eine gemeinsame
> Seite haben dann würde ich doch ein offenes Quardrat
> bekommen oder?
Ja, die gemeinsame Seite gehört nicht mehr zur Differenzmenge.
Beschreibe die enstehende Schnittmenge doch mal mengentheoretisch, so wie unten [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm]
Begründe noch kurz, wieso genau [mm]A\setminus B[/mm] nicht abgeschlossen ist.
> z.B wenn ich als Menge
> [mm]A=\{(x,y)\in R^{2}| 0\le x \le1, 0\le y \le1\}[/mm]
>
> [mm]B=\{(x,y)\in R^{2}| 1\le x \le2, 0\le y \le1\}[/mm]
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Also es wurde irgendwie nicht Richtig übernommen mit A meinte ich eigentlich A und B aber da meine Vermutung sowieso nicht stimmt ist es halb so wild.
Wie beweise ich den die Aussage übers Offenheitskriterium? Bin mit dem Thema noch nicht so vertraut gib´s vielleicht nen Tipp wo ich Ansetzen soll.
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Hallo nochmal,
> Also es wurde irgendwie nicht Richtig übernommen mit A
> meinte ich eigentlich A und B aber da meine Vermutung
> sowieso nicht stimmt ist es halb so wild.
>
> Wie beweise ich den die Aussage übers Offenheitskriterium?
> Bin mit dem Thema noch nicht so vertraut gib´s vielleicht
> nen Tipp wo ich Ansetzen soll.
Na, mal dir ein Bildchen.
Wenn du nen Punkt [mm]x[/mm] im Durchschnitt von [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] wählst, so liegt er in [mm]A[/mm] und in [mm]B[/mm], beide sind offen, also gibt es Kugeln [mm]K_{r_1}(x)\subset A[/mm] und [mm]K_{r_2}(x)\subset B[/mm], die jeweils ganz in [mm]A[/mm] bzw. [mm]B[/mm] liegen.
Was sagt nun die Skizze?
Kannst du eine Kugel um [mm]x[/mm] legen, die ganz im Schnitt von [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] liegt?
Gruß
schachuzipus
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Ich weiß was du meinst und auch wo mein Denkfehler war, aber wie beweise ich es jetzt Allgemein?
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Hallo nochmal,
> Ich weiß was du meinst und auch wo mein Denkfehler war,
> aber wie beweise ich es jetzt Allgemein?
Das habe ich doch oben geschrieben, die Vorlage steht, du musst bloß verwandeln!
Gruß
scahchuzipus
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Also neuer Versuch
Nach dem Offenheitskriterium, welches ja genau das beschreibt was du geschrieben hast, also dass Kr(x) [mm] \subset [/mm] A und Kr(x) [mm] \subset [/mm] B ist und somit ganz in A bzw. B passen und wenn man jetzt A [mm] \cap [/mm] B betrachtet muss ja wieder für jeden Punkt das Gleiche gelten, also sind auch diese Punkte alles innere Punkte.
Soweit ist es jetzt von mir richtig verstanden oder?
Und reicht es als Beweis für die Aussage oder hab ich was vergessen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:54 Di 26.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also neuer Versuch
>
> Nach dem Offenheitskriterium, welches ja genau das
> beschreibt was du geschrieben hast, also dass Kr(x) [mm]\subset[/mm]
> A und Kr(x) [mm]\subset[/mm] B
Nein. [mm] K_{r_1}(x)[/mm] [mm]\subset[/mm] A und [mm] K_{r_2}(x)[/mm] [mm]\subset[/mm] B
> ist und somit ganz in A bzw. B passen
> und wenn man jetzt A [mm]\cap[/mm] B betrachtet muss ja wieder für
> jeden Punkt das Gleiche gelten, also sind auch diese Punkte
> alles innere Punkte.
> Soweit ist es jetzt von mir richtig verstanden oder?
Nein. Steiler als die Steilvorlage von schachuzipus kann doch eine Vorlage nicht sein !!
Tipp: definiere $r:=min [mm] \{r_1,r_2 \}$ [/mm] und zeige:
[mm] K_{r}(x)[/mm] [mm]\subset[/mm] A und [mm] K_{r}(x)[/mm] [mm]\subset[/mm] B
FRED
> Und reicht es als Beweis für die Aussage oder hab ich was
> vergessen?
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