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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:44 Mo 16.04.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Man zeige:
a) [mm] $A^{°} =X\setminus \overline{X\setminus A} [/mm] $
b) [mm] $\overline{A°} [/mm] = [mm] X\setminus (X\setminus A)^{°} [/mm] $ |
Es wurde nicht dazu gesagt, was die angegebenen Mengen bedeuten sollen, ich fass es jedoch mal so auf:
[mm] $A^{°} [/mm] $ sehe ich als das innere von $A.$
$ [mm] \overline{X\setminus A} [/mm] $ sehe ich als sehe ich als den Abschluss von $X$ ohne $A$ an. Das rechte ergibt sich dann automatisch.
So, nun zum Beweis:
x [mm] \in \overline{A} \Leftrightarrow [/mm] (x [mm] \in A^{0} \vee x\in \partial [/mm] A ) [mm] \Leftrightarrow \exists [/mm] U [mm] \in \mathcal{U}(x): U\subseteq [/mm] A [mm] \wedge \forall U\in \mathcal{U}(x) [/mm] : [mm] A\cap [/mm] U [mm] \neq \{ \} \Leftrightarrow \forall U\in \mathcal{U}(x) [/mm] : [mm] A\cap [/mm] U [mm] \neq \{ \} \Leftrightarrow \forall U\in [/mm]
[mm] \mathcal{U}(x) [/mm] : [mm] U\not \subseteq A^{C} \Leftrightarrow x\not \in (A^{C})^{°} \Leftrightarrow
[/mm]
[mm] x\in X\setminus (A^{C})^{°} [/mm]
[mm] $\overline{A} [/mm] = [mm] X\setminus (A^{C}) [/mm] ^{°} $
[mm] $A^{°} [/mm] = [mm] X\setminus \overline{A^{C}} [/mm] $
Ist meine Vorgangsweise korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man zeige:
> a) [mm]A^{°} =X\setminus \overline{X\setminus A} [/mm]
Du meinst linkerhand [mm] $A^\text{o}\,.$ [/mm] Bei Dir sieht man nur [mm] $A\,,$ [/mm] aber im Quelltext liest man [mm] [nomm]$A^{°}$[/nomm].
[/mm]
> b)
> [mm]\overline{A°} = X\setminus (X\setminus A)^{°}[/mm]
>
> Es wurde nicht dazu gesagt, was die angegebenen Mengen
> bedeuten sollen, ich fass es jedoch mal so auf:
> [mm]A^{°}[/mm]
[mm] $A^\text{o}$
[/mm]
> sehe ich als das innere von [mm]A.[/mm]
Ja, das ist der Kern (oder das Innere) von [mm] $A\,.$
[/mm]
> [mm]\overline{X\setminus A}[/mm] sehe ich als sehe ich als den
> Abschluss von [mm]X[/mm] ohne [mm]A[/mm] an. Das rechte ergibt sich dann
> automatisch.
>
> So, nun zum Beweis:
Das ist der Beweis von was? Teil a)? Teil b)? Von beiden Teilen (und warum reicht dann ein Beweis - wegen de Morgan?)?
> x [mm]\in \overline{A} \Leftrightarrow[/mm] (x [mm]\in A^{0} \vee x\in \partial[/mm]
> A ) [mm]\Leftrightarrow \exists[/mm] U [mm]\in \mathcal{U}(x): U\subseteq[/mm]
> A [mm]\wedge \forall U\in \mathcal{U}(x)[/mm] : [mm]A\cap[/mm] U [mm]\neq \{ \} \Leftrightarrow \forall U\in \mathcal{U}(x)[/mm]
> : [mm]A\cap[/mm] U [mm]\neq \{ \} \Leftrightarrow \forall U\in[/mm]
> [mm]\mathcal{U}(x)[/mm] : [mm]U\not \subseteq A^{C} \Leftrightarrow x\not \in (A^{C})^{°} \Leftrightarrow[/mm]
>
> [mm]x\in X\setminus (A^{C})^{°}[/mm]
> [mm]\overline{A} = X\setminus (A^{C}) ^{°} [/mm]
> [mm]A^{°} = X\setminus \overline{A^{C}}[/mm]
>
> Ist meine Vorgangsweise korrekt?
Das ist schwer zu sagen, da Du gar nicht sagst, was (welchen Teil der AufgabeN) Du beweisen willst - aber davon abgesehen:
Zum einen musst Du sagen, wie ihr die Begriffe "offene Menge, abgeschlossene Menge, 'Kern einer Menge' und 'Abschluss einer Menge' und 'die Menge der offenen Umgebungen von [mm] $x\,$' [/mm] " definiert habt - zum anderen: Bei jedem [mm] $\gdw$ [/mm] hast Du ja zwei Richtungen zu zeigen - wenn Dir beide bei jedem gelingen und Du Dir im Klaren bist, was Du beweist (und das auch Deiner Umwelt mitteilst), dann eventuell ja.
Aber das, was nach dem letzten [mm] $\gdw$ [/mm] steht, ist mir nicht klar: Wie sind die drei Informationen da gemeint? (Also was sollen diese drei Aussagen bedeuten: Sind sie einander gleichwertig)?
Also mal ganz elementar, ohne jetzt auf das einzugehen, was Du gerechnet hast:
Wenn Du [mm] $A^\text{o}=X \setminus \overline{X \setminus A}$ [/mm] (Teil a)) zeigen sollst, dann hast Du zwei Teilmengenbeziehungen nachzuweisen:
1.) Zeige, dass [mm] $A^\text{o} \subseteq [/mm] X [mm] \setminus \overline{X \setminus A}$
[/mm]
2.) Zeigen, dass $X [mm] \setminus \overline{X \setminus A} \subseteq A^\text{o}\,.$
[/mm]
(Denn bekanntlich gilt für zwei Mengen [mm] $R=S\,$ [/mm] genau dann, wenn sowohl $R [mm] \subseteq [/mm] S$ als auch $S [mm] \subseteq [/mm] R$ gilt!)
Wie gesagt: Mir sind Eure Definitionen nicht bekannt. Zum Beispiel kann man bei obiger Behauptung a) auch ausnutzen, dass der Kern einer Menge die Vereinigung aller offenen Teilmengen dieser Menge ist...
P.S.
[mm] $X\,$ [/mm] ist hier natürlich die betrachtete Grundmenge!
Gruß,
Marcel
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