oje - schon wieder Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Liebe Forumuser,
ich habe bald eine Probeklausur und bin "wieder da" 
Oje, nachdem ich mir viele Aufgaben angeschaut habe, bin ich immernoch am Verzweifeln :
Nehmen wir an, ich hätte einen Basis. Diese ist ja eine "Menge" von (3 wenn [mm] R^3 [/mm] ) linear unabhängigen Vektoren, die ein Erzeugendensystem bilden.
Aber wie kann ein Erzeugendensystem überhaupt linear unabhängig sein, wenn wir ihn über den Span definieren, und wir sagen : Spann{v . . . } = V ==>==> Das bedeutet doch, dass wir JEDEN EINZELNEN Punkt unseres Raumes V durch eine linearkombination der Spannvektoren erreichen können.
Folglich kann doch ein Erzeugendensystem nur LINEAR ABHÄNGIG sein ? Wieso dann die Geschichten mit der Basis ? Das ist doch ein Widerspruch ?
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> Nehmen wir an, ich hätte einen Basis. Diese ist ja eine
> "Menge" von (3 wenn [mm]R^3[/mm] ) linear unabhängigen Vektoren, die
> ein Erzeugendensystem bilden.
Hallo,
das ist richtig.
>
> Aber wie kann ein Erzeugendensystem überhaupt linear
> unabhängig sein, wenn wir ihn über den Span definieren, und
> wir sagen : Spann{v . . . } = V ==>==> Das bedeutet doch,
> dass wir JEDEN EINZELNEN Punkt unseres Raumes V durch eine
> linearkombination der Spannvektoren erreichen können.
Jeden Vektor können wir hier per Linearkombination herstellen, das ist richtig.
Nun habe ich die ganz fürchterliche Befürchtung, daß Du die Definition von linear unabhängig nicht parat hast.
Schreib die doch hier mal auf.
Gruß v. Angela
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also linear unabhängig bedeutet, dass es bei der Lösung der Matrix nichts anderes als die triviale Lösung gibt.
Wenn die Vektoren somit keine "Vielfache" voneinander sind.
Ist es so richtig `?
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> also linear unabhängig bedeutet, dass es bei der Lösung der
> Matrix nichts anderes als die triviale Lösung gibt.
>
> Wenn die Vektoren somit keine "Vielfache" voneinander sind.
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> Ist es so richtig '?
Hallo,
vermischt sich hier Richtiges mit Falschem.
Die Definition von linearer Unabhängigkeit geht so:
[mm] v_1, ...,v_n [/mm] sind linear unabhängig, wenn aus [mm] \lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n=0 [/mm] folgt, daß [mm] \lambda_1=...=\lambda_n=0 [/mm] .
Berechnen kann man das dann mithilfe einer Matrix, das ist richtig.
Das mit den Vielfachen stimmt ja nur bei zwei Vektoren, Du hast es ja auch in Strichelchen gesetzt. "Linearkombinationen " wäre passend.
Um zur Ausgangsfrage zurückzukommen.
nehmen wir Vektoren [mm] v_1, ...,v_5.
[/mm]
In dem von ihnen erzeugten Raum sind dann sämtliche Elemente, die man aus Linearkombinationen dieser 5 erhält.
Wenn wir wissen wollen, ob die 5 linear unabhängig sind, müssen wir die Gleichung [mm] \lambda_1v_1+...+\lambda_5v_5=0 [/mm] lösen, und die Frage beantworten, ob es nur eine oder mehrere Arten gibt, auf welche man die Null aus [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_5 [/mm] linearkombinieren kann.
Gruß v. Angela
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Okay - nur wie bestimme ich damit eine Basis ? Oder wenn ich z.B. [mm] R^2 [/mm] habe, darf ich dann nicht einfach 2 beliebige linear unabh. Vektoren als Basis definieren ?
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> Okay - nur wie bestimme ich damit eine Basis ?
Hallo,
vielleicht postest Du mal eine passende Aufgabe mit Deinen Überlegungen, denn wenn ich jetzt ins Blaue hineinschwadroniere, kommt mir das nicht sehr nützlich vor.
> Oder wenn
> ich z.B. [mm]R^2[/mm] habe, darf ich dann nicht einfach 2 beliebige
> linear unabh. Vektoren als Basis definieren ?
Du definierst sie nicht als Basis. Sie sind (!) eine Basis.
Denn: der [mm] \IR^2 [/mm] hat die dim 2, und je zwei linear unabhängige Vektoren sind somit eine Basis.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | a) Ist es ein Untervektorraum ? U = { a(1 ; 2 ; 1) + b(2 ; -5 ; -3) + c(-4 ; 9 ; 5) } ==> Die Kriterien sind erfüllt.
b) Finde eine Basis dafür |
aha - also besteht das "Problem" darin, nur ein par unabhängige Vektoren zu finden ? Nehmen wir die obige Aufgabe : Soll ich da einfach zuers prüfen, ob die Vektoren unabhängig sind, und wenn sie es sind, soll ich da einfach 3 von ihnen angeben ? ==> Oder nicht einfach wenn ich sage : Da diese oben gennannten Vektoren unabh. sind, bilden diese eine Basis ?
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> a) Ist es ein Untervektorraum ? U = { a(1 ; 2 ; 1) + b(2 ;
> -5 ; -3) + c(-4 ; 9 ; 5) } ==> Die Kriterien sind erfüllt.
>
> b) Finde eine Basis dafür
> aha - also besteht das "Problem" darin, nur ein par
> unabhängige Vektoren zu finden ? Nehmen wir die obige
> Aufgabe : Soll ich da einfach zuers prüfen, ob die Vektoren
> unabhängig sind, und wenn sie es sind, soll ich da einfach
> 3 von ihnen angeben ? ==> Oder nicht einfach wenn ich sage
> : Da diese oben gennannten Vektoren unabh. sind, bilden
> diese eine Basis ?
Hallo,
daß das da oben ein UVR vom [mm] \IR^3 [/mm] ist, hast Du bereits geprüft.
Eine Basis findest Du bei solchen Aufgaben am schnellsten so:
Stelle die Vektoren als Spalten in eine Matrix, welche Du auf Zeilenstufenform bringst.
Schau, in welchen Spalten die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen.
Stehen sie z.B. in der 1., 3.ten und 5.Spalte, so bilden der 1.,3.,und 5. der Ursprungs(!)vektoren eine Basis des erzeugten Raumes.
Obige drei erzeugende Vektoren sind linear unabhängig, bilden also eine Basis von U.
Du weißt jetzt noch mehr: U ist ein dreidimensionaler Unterraum vom [mm] \IR^3, [/mm] also der [mm] \IR^3 [/mm] selber.
Gruß v. Angela
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Schau, in welchen Spalten die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen.
wie geht denn das ? Kannst du mir das ein bisschen genauer sagen BITTE BITTE BITTE ?
LG Denis
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Hey,
schreibe die Vektoren doch erstmal in eine Matrix und bringe diese auf Zeilenstufenform. Danach sehen wir weiter.
Gruß Patrick
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Okay - meine ZSF sieht so aus :
[mm] \pmat{ 2 & -5 & 9 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 20 }
[/mm]
Also wie gehe ich denn nun vor, um eine Basis zu finden ? Ich hab die Anleitung nicht ganz kapiert :-(
MFG
Denis
PS: Die vektoren sind linear unabh. da keine nichttriviale Lsg.
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> Okay - meine ZSF sieht so aus :
>
> [mm]\pmat{ \red{2} & -5 & 9 \\ 0 &\red{ -1} & 1 \\ 0 & 0 & \red{20} }[/mm]
>
> Also wie gehe ich denn nun vor, um eine Basis zu finden ?
> Ich hab die Anleitung nicht ganz kapiert :-(
Hallo,
ich schreib:
"Stelle die Vektoren als Spalten in eine Matrix, welche Du auf Zeilenstufenform bringst.
Schau, in welchen Spalten die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen.
Stehen sie z.B. in der 1., 3.ten und 5.Spalte, so bilden der 1.,3.,und 5. der Ursprungs(!)vektoren eine Basis des erzeugten Raumes. "
Das ist die Anleitung, wie man aus jedem Erzeugendensystem eine Basis herauspicken kann.
Bei Deiner Matrix nun gibt es keine Nullzeilen. Es gibt nur Nichtnullzeilen.
Deren führende Elemente (heute in rot), stehen in der 1., 2., 3., Spalte. Also sind der 1., 2., 3. der ursprnglich eingesetzten Vektoren zusammen eine Basis. Hier, in diesem Beispiel, also alle.
Gruß v. Angela
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Suuppiii 
Ist es eigentlich immer so ? Dann kann ich den Trick ja überall anwenden, wo es ein Erzeugendensystem gibt ?
Aber irgendwie verstehe ich nicht, wieso es so ist, denn dann wären ja ALLE auf ZSF gebrachten Matrizen automatisch Basen, wenn diese Quadratisch sind, oder ?
DANKE DAFÜR DASS DU NOCH SO SPÄT DIR DIE MÜHE MACHST - das finde ich sehr lobenswert.
MFG,
Denis
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> Suuppiii
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> Ist es eigentlich immer so ? Dann kann ich den Trick ja
> überall anwenden, wo es ein Erzeugendensystem gibt ?
Hallo,
ja.
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> Aber irgendwie verstehe ich nicht, wieso es so ist, denn
> dann wären ja ALLE auf ZSF gebrachten Matrizen automatisch
> Basen, wenn diese Quadratisch sind, oder ?
Nee, überhaupt nicht.
Du hast wohl noch nicht viele Matrizen auf ZSF gebracht - oder nicht richtig gelesen:
Es geht um die führenden Elemente der Nichtnullzeilen, und es ist doch oft genung so, daß man in der ZSF Nullzeilen hat.
Gruß v. Angela
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Ja schon - doch - ich habs einigermaßen kapiert - nur: Wenn ich z.B. eine Matrix mit einer nullzeile hab, die wirklich quadratisch ist - ist es dann so , dass ich einfach dann statt 3 Vektoren lediglich 2 habe (Rein zum beispiel), die meine Basis definieren ?
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Denke mal über das Beispiel [mm] (1,0,0)^T, (0,1,0)^T [/mm] und [mm] (1,1,0)^T [/mm] nach! Bedenke, dass der [mm] \IR^3 [/mm] dreidimensional ist und du daher auch 3 Basisvektoren brauchst. Fällt dir noch ein Vektor ein, der die beiden lin.unabh. Vektoren zu einer Basis ergänzen würden?
Gruß Patrick
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> Ja schon - doch - ich habs einigermaßen kapiert - nur: Wenn
> ich z.B. eine Matrix mit einer nullzeile hab, die wirklich
> quadratisch ist - ist es dann so , dass ich einfach dann
> statt 3 Vektoren lediglich 2 habe (Rein zum beispiel), die
> meine Basis definieren ?
Hallo,
solch Gerede in den luftleeren Raum hinein birgt immer die Gefahr von Mißverständnissen.
Die Ausgangssituation über die wir reden ist doch die, daß man eine Menge Vektoren hat, die irgendeinen Raum erzeugen, und daß man sagen soll, welche der Vektoren eine Basis des aufgespannten Raumes bilden.
Wir machen jetzt ein Beispiel:
bestimme eine Basis des von den Vektoren [mm] \vektor{3\\1\\1\\1},\vektor{2\\1\\0\\1},\vektor{3\\2\\-1\\2},\vektor{5\\1\\3\\2} [/mm] aufgespannten Raumes, also von
[mm] L:=<\vektor{3\\1\\1\\1},\vektor{2\\1\\0\\1},\vektor{3\\2\\-1\\2},\vektor{5\\1\\3\\1} [/mm] >.
Daß diese 4 Vektoren die Mege L erzeugen, steht ja völlig außer Frage. Wir sehen auch, daß es sich um eine Teilmenge des [mm] \IR^4 [/mm] handelt.
Die Vektoren in eine Matrix gestellt und auf ZSF gebracht liefert
[mm] \pmat{\red{1}&0&-1&3\\0&\red{1}&3&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0}.
[/mm]
Ich lese ab, daß [mm] \vektor{3\\1\\1\\1},\vektor{2\\1\\0\\1} [/mm] zusammen eine Basis von L bilden.
L ist also ein zweidimensionaler Unterraum des [mm] \IR^4.
[/mm]
Jetzt gibt es ziemlich oft die Fragestellung, wie man die Basis von L zu einer Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzen kann.
Hier schiebt man an den passenden Stellen Vektoren mit Nullen und einer 1 in die Matrix ein, so daß sie den Rang 4 bekommt.
Hier würden die Vektoren [mm] \green{\vektor{0\\0\\1\\0}} [/mm] und [mm] \blue{\vektor{0\\0\\0\\1}} [/mm] die Basis von L zu einer Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzen:
[mm] \pmat{\red{1}&0&\green{0}&\blue{0}\\0&\red{1}&\green{0}&\blue{0}\\0&0&\green{1}&0\\0&0&\green{0}&\blue{0}}.
[/mm]
Wenn Du nun weitere Fragen hast, poste bitte passende Situationen/Beispiele/Aufgaben mit, damit ganz klar ist, worüber man redet.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 So 23.11.2008 | | Autor: | KGB-Spion |
Wie soll ich da, nachdem Du es mir so perfekt erklärt hast noch irgendwelche Fragen haben ?
VIELEN DANK ! Ich habe es kapiert. Besonders der Trick mit dem Ergänzen ergibt einen Sinn. Vielen Vielen Dank !!! AN EUCH ALLE
Beste Grüße
Denis
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