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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:41 Fr 06.12.2013 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Eine Gruppe bestehend aus 7 Mitgliedern nimmt an einem Spiel teil, bei dem jeder Teilnehmer einen Zettel auf die Stirn geklebt bekommt, auf dem entweder "Kopf" oder Zahl" steht. Die Teilnehmer sehen also nur das Ergebnis der anderen und dürfen den anderen keinerlei Hinweise auf ihr Ergebnis geben. Die Teilnehmer geben dann gleichzeitig einen Tipp ab, was auf Ihrer Stirn steht und pro richtiger Antwort erhält die Gruppe 100 €.
Die Gruppe möchte natürlich möglichst viel Geld sicher gewinnen. Überlegen Sie sich eine optimale Strategie, sodass die Gruppe von der Verteilung von Kopf und Zahl unabhängig mindestens x € gewinnt. |
Hallo,
Ich habe hier deutliche Schwierigkeiten weiter zu kommen.
Was ich mir überlegt habe, war, dass die Teilnehmer abhängig von dem was Sie sehen, sich vorher überlegt haben müssen, was Sie wählen. Schwierig wird das Ganze aber bei den Verteilungen 4-mal Kopf 3-mal Zahl, bzw. 3-mal Kopf 4-mal Zahl, denn dann sehen 4 Teilnehmer 3Kopf - 3Zahl und 3 Teilnehmer 4 Kopf - 2 Zahl bzw. 2 Kopf - 4 Zahl. Okay, nun könnte man sagen, bei 4-2 sollen die Teilnehmer immer auf das Ergebnis setzen, welches sie von genau 2 Teilnehmern gesehen haben, somit hätte die Gruppe in dem Fall 300 €. Doch bei der Verteilung von 5 Kopf - 2 Zahl sehen 5 Teilnehmer 4 Kopf - 2 Zahl - tippen diese alle auf Zahl, so liegen Sie falsch und die Gruppe kann nur noch maximal 200 € gewinnen. Folglich dürfte die Strategie wohl nicht optimal sein.
Schwierig wird auch sein, vorher etwas zu sagen, wie zum Beispiel: Die Hälfte von denen, die 3 Kopf - 3 Zahl sieht, sollen Zahl nehmen, die andere Hälfte Kopf, denn niemand weiß ja im Moment der Tippabgabe, was die "Hälfte" ist.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
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Hallo ms2008de,
das scheint auf den ersten Blick eine Knobelaufgabe zu sein. Das finde ich immer interessant, vor allem, wenn ich die Aufgabe noch nicht kenne.
Diese hier hat aber ein Problem: sie ist nicht sauber gestellt, wie leider so oft.
> Eine Gruppe bestehend aus 7 Mitgliedern nimmt an einem
> Spiel teil, bei dem jeder Teilnehmer einen Zettel auf die
> Stirn geklebt bekommt, auf dem entweder "Kopf" oder Zahl"
> steht. Die Teilnehmer sehen also nur das Ergebnis der
> anderen und dürfen den anderen keinerlei Hinweise auf ihr
> Ergebnis geben. Die Teilnehmer geben dann gleichzeitig
> einen Tipp ab, was auf Ihrer Stirn steht und pro richtiger
> Antwort erhält die Gruppe 100 €.
> Die Gruppe möchte natürlich möglichst viel Geld sicher
> gewinnen. Überlegen Sie sich eine optimale Strategie,
> sodass die Gruppe von der Verteilung von Kopf und Zahl
> unabhängig mindestens x € gewinnt.
Hier fehlt die entscheidende Präzision. Ich fange mal hinten an und nehme an, dass x>0 gelten soll. Das aber ist, wie mans dreht und wendet, nur auf gut Glück nicht möglich. Andererseits kann jedes einzelne Gruppenmitglied nur aufgrund seiner eigenen Information (ich sehe zwei Kopf und vier Zahl) überhaupt keine Aussage über seine eigene "Identität" treffen und folgerichtig nur wahllos eine der beiden möglichen Aussagen machen bzw. raten.
Es muss also einen Informationsaustausch irgendeiner Art unter den Teilnehmenden geben, bevor sie alle gleichzeitig ihren Tipp abgeben.
Nun sagt die Aufgabe: "Die Teilnehmer sehen also nur das Ergebnis der anderen und dürfen den anderen keinerlei Hinweise auf ihr Ergebnis geben."
Was genau heißt das? Darf also ein Teilnehmer nur nicht sagen: Du hast da "Kopf" auf Deiner Stirn kleben? Oder darf er gar nichts zu dem sagen, was er sieht? Letzteres scheidet aus, weil ohne Informationsfluss eben nur das Glücksspiel bleibt. Und ersteres muss natürlich garantiert sein, sonst ist das Spiel witzlos.
Hier verlässt uns die Aufgabenstellung.
Überlege einmal eine Strategie unter einer der drei folgenden Annahmen:
1) Jeder darf sagen, was er "in summa" sieht, also z.B. 3 Kopf, 3 Zahl.
2) Jeder darf sagen, ob er eine gerade oder eine ungerade Anzahl "Kopf" sieht.
3) Es wird nur ermittelt, wieviele Gruppenmitglieder eine gerade Anzahl von "Kopf" sieht, ohne dass bekannt ist, wer dieses Ergebnis sieht (also anonym).
In allen drei Varianten soll die Abgabe der Tipps ohne weitere Diskussion unmittelbar danach erfolgen.
Grüße
reverend
> Ich habe hier deutliche Schwierigkeiten weiter zu kommen.
> Was ich mir überlegt habe, war, dass die Teilnehmer
> abhängig von dem was Sie sehen, sich vorher überlegt
> haben müssen, was Sie wählen. Schwierig wird das Ganze
> aber bei den Verteilungen 4-mal Kopf 3-mal Zahl, bzw. 3-mal
> Kopf 4-mal Zahl, denn dann sehen 4 Teilnehmer 3Kopf - 3Zahl
> und 3 Teilnehmer 4 Kopf - 2 Zahl bzw. 2 Kopf - 4 Zahl.
> Okay, nun könnte man sagen, bei 4-2 sollen die Teilnehmer
> immer auf das Ergebnis setzen, welches sie von genau 2
> Teilnehmern gesehen haben, somit hätte die Gruppe in dem
> Fall 300 €. Doch bei der Verteilung von 5 Kopf - 2 Zahl
> sehen 5 Teilnehmer 4 Kopf - 2 Zahl - tippen diese alle auf
> Zahl, so liegen Sie falsch und die Gruppe kann nur noch
> maximal 200 € gewinnen. Folglich dürfte die Strategie
> wohl nicht optimal sein.
> Schwierig wird auch sein, vorher etwas zu sagen, wie zum
> Beispiel: Die Hälfte von denen, die 3 Kopf - 3 Zahl sieht,
> sollen Zahl nehmen, die andere Hälfte Kopf, denn niemand
> weiß ja im Moment der Tippabgabe, was die "Hälfte" ist.
>
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Vielen Dank schon
> mal im voraus.
>
> Viele Grüße
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Hallo,
> Diese hier hat aber ein Problem: sie ist nicht sauber
> gestellt, wie leider so oft.
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> > Eine Gruppe bestehend aus 7 Mitgliedern nimmt an einem
> > Spiel teil, bei dem jeder Teilnehmer einen Zettel auf die
> > Stirn geklebt bekommt, auf dem entweder "Kopf" oder Zahl"
> > steht. Die Teilnehmer sehen also nur das Ergebnis der
> > anderen und dürfen den anderen keinerlei Hinweise auf ihr
> > Ergebnis geben. Die Teilnehmer geben dann gleichzeitig
> > einen Tipp ab, was auf Ihrer Stirn steht und pro richtiger
> > Antwort erhält die Gruppe 100 €.
> > Die Gruppe möchte natürlich möglichst viel Geld
> sicher
> > gewinnen. Überlegen Sie sich eine optimale Strategie,
> > sodass die Gruppe von der Verteilung von Kopf und Zahl
> > unabhängig mindestens x € gewinnt.
>
> Hier fehlt die entscheidende Präzision. Ich fange mal
> hinten an und nehme an, dass x>0 gelten soll.
Richtig und es soll, ganz egal wie Kopf und Zahl verteilt sind, optimiert werden, sodass unabhängig von der Verteilung die Gruppe mit mindestens x Euro, wobei dieses x maximal sein soll, nach Hause fährt.
> Das aber ist, wie mans dreht und wendet, nur auf gut Glück nicht
> möglich. Andererseits kann jedes einzelne Gruppenmitglied
> nur aufgrund seiner eigenen Information (ich sehe zwei Kopf
> und vier Zahl) überhaupt keine Aussage über seine eigene
> "Identität" treffen und folgerichtig nur wahllos eine der
> beiden möglichen Aussagen machen bzw. raten.
Stimmt, aber es geht ja nicht um ein Individuum, sondern um das Gesamtergebnis der Gruppe und da bleibt eben die Frage, wie man dies optimieren kann.
Beispiel:
Wenn jemand 6 Kopf 0 Zahl sieht, kann das Ergebnis nur entweder 6 Kopf zu 1 Zahl sein oder 7 Kopf zu 0 Zahl.
Die anderen sehen also entweder 5 Kopf zu 1 Zahl oder ebenfalls 6 Kopf zu 0 Zahl. Tippt jeder der entweder 5 Kopf zu 1 Zahl oder 6 Kopf zu 0 Zahl sieht auf Kopf, so hätte die Gruppe bei der Verteilung 600 Euro.
Trotz dieser Überlegungen finde ich keine optimale Strategie.
> Es muss also einen Informationsaustausch irgendeiner Art
> unter den Teilnehmenden geben, bevor sie alle gleichzeitig
> ihren Tipp abgeben.
>
Den gibt es aber nicht!
> Nun sagt die Aufgabe: "Die Teilnehmer sehen also nur das
> Ergebnis der anderen und dürfen den anderen keinerlei
> Hinweise auf ihr Ergebnis geben."
>
> Was genau heißt das? Darf also ein Teilnehmer nur nicht
> sagen: Du hast da "Kopf" auf Deiner Stirn kleben? Oder darf
> er gar nichts zu dem sagen, was er sieht? Letzteres
> scheidet aus, weil ohne Informationsfluss eben nur das
> Glücksspiel bleibt. Und ersteres muss natürlich
> garantiert sein, sonst ist das Spiel witzlos.
Nein, es gibt keinen Informationsaustausch zum Zeitpunkt, wo die andern Zettel gesehen werden. Die Gruppe hat sich die Strategie, bevor das Spiel begonnen hat, zurecht gelegt.
Ich hoffe ihr könnt mir dennoch irgendwie weiterhelfen.
Viele Grüße
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Hallo nochmal,
> Beispiel:
> Wenn jemand 6 Kopf 0 Zahl sieht, kann das Ergebnis nur
> entweder 6 Kopf zu 1 Zahl sein oder 7 Kopf zu 0 Zahl.
> Die anderen sehen also entweder 5 Kopf zu 1 Zahl oder
> ebenfalls 6 Kopf zu 0 Zahl. Tippt jeder der entweder 5 Kopf
> zu 1 Zahl oder 6 Kopf zu 0 Zahl sieht auf Kopf, so hätte
> die Gruppe bei der Verteilung 600 Euro.
> Trotz dieser Überlegungen finde ich keine optimale
> Strategie.
Das liegt nicht an Dir. Es gibt nämlich überhaupt keine Strategie, daher auch keine optimale.
> > Es muss also einen Informationsaustausch irgendeiner Art
> > unter den Teilnehmenden geben, bevor sie alle gleichzeitig
> > ihren Tipp abgeben.
> >
> Den gibt es aber nicht!
Ist das irgendwo explizit gesagt? Oder ist es nur Deine Deutung der Aufgabe? Dann wäre ich vorsichtiger damit, sie gleich als kanonische Deutung zu setzen.
> > Nun sagt die Aufgabe: "Die Teilnehmer sehen also nur das
> > Ergebnis der anderen und dürfen den anderen keinerlei
> > Hinweise auf ihr Ergebnis geben."
> >
> > Was genau heißt das? Darf also ein Teilnehmer nur nicht
> > sagen: Du hast da "Kopf" auf Deiner Stirn kleben? Oder darf
> > er gar nichts zu dem sagen, was er sieht? Letzteres
> > scheidet aus, weil ohne Informationsfluss eben nur das
> > Glücksspiel bleibt. Und ersteres muss natürlich
> > garantiert sein, sonst ist das Spiel witzlos.
>
> Nein, es gibt keinen Informationsaustausch zum Zeitpunkt,
> wo die andern Zettel gesehen werden. Die Gruppe hat sich
> die Strategie, bevor das Spiel begonnen hat, zurecht
> gelegt.
Blöd nur, wenn sie gar keine Strategie haben kann. Ohne Informationsaustausch gibt es nämlich keine.
> Ich hoffe ihr könnt mir dennoch irgendwie weiterhelfen.
Darum lasse ich die Frage halboffen. Vielleicht kann unsere Expertenkommission für Hellseherei, Wunderlösungen und Unmögliches ja noch einmal darüber tagen.
Viel Erfolg
reverend
PS: Wenn es dann mal eine Musterlösung gibt, wüsste ich gern, welche Informationen denn nun tatsächlich ausgetauscht werden durften.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Sa 04.01.2014 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Vielleicht kann unsere
> Expertenkommission für Hellseherei, Wunderlösungen und
> Unmögliches ja noch einmal darüber tagen.
>
Dann eben im Folgenden noch für alle Interessierten die "Wunderlösung"^^:
Bei optimaler Strategie fährt die Gruppe unabhängig von der Verteilung von Kopf und Zahl mit mind. 300€ nach Hause.
Und zwar lautet die Strategie folgendermaßen: Die Gruppe bildet zuvor 3 Paare. Es wird ausgemacht, dass ein Teilnehmer im Paar das Ergebnis des anderen Teilnehmers nennt, somit gewinnt das Paar bei 2 gleichen Ergebnissen 100€, während der andere Teilnehmer des Paares das gegenteilige Ergebnis des Partners nennt, somit gewinnt das Paar bei 2 unterschiedlichen Ergebnissen 100€.
Somit wird definitiv jedes Paar 100€ gewinnen und die Gruppe mind. 300 € gewinnen.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Sa 04.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo ms2008de,
wirklich eine Wunderlösung. Ich muss mich entschuldigen, die Existenz einer solchen Lösung so kategorisch bezweifelt zu haben.
Richtig ist sie nämlich.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Sa 07.12.2013 | | Autor: | ms2008de |
Hallo nochmal,
> > > Es muss also einen Informationsaustausch irgendeiner Art
> > > unter den Teilnehmenden geben, bevor sie alle gleichzeitig
> > > ihren Tipp abgeben.
> > >
> > Den gibt es aber nicht!
>
> Ist das irgendwo explizit gesagt? Oder ist es nur Deine
> Deutung der Aufgabe? Dann wäre ich vorsichtiger damit, sie
> gleich als kanonische Deutung zu setzen.
Ja, dies wurde zuvor gesagt, dass es während des Spiels keinen Informationsaustausch gibt!
> > Nein, es gibt keinen Informationsaustausch zum Zeitpunkt,
> > wo die andern Zettel gesehen werden. Die Gruppe hat sich
> > die Strategie, bevor das Spiel begonnen hat, zurecht
> > gelegt.
>
> Blöd nur, wenn sie gar keine Strategie haben kann. Ohne
> Informationsaustausch gibt es nämlich keine.
>
Wie gesagt, der Informationsaustausch für eine Strategie findet vorm Spiel statt, aber nicht während!
Viele Grüße
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| Aufgabe | | Welches wäre die optimale Strategie für die Gruppe, wenn ein Mitglied vor allen anderen einen Tipp abgeben darf und der Rest erst danach ohne weiteren Informationsaustausch gleichzeitig tippen muss? |
Hallo nochmals,
Ich glaub mittlerweile, dass es wie reverend schon sagte, für den ursprünglichen Fall keine optimale Strategie gibt, die der Gruppe mehr als 0 Euro garantiert, danke soweit.
Doch hier dürfte die Sache wohl anders aussehen: Derjenige der zuerst tippt, könnte mit seinem Tipp schon verraten, ob Kopf oder Zahl die Mehrheit hat, sieht er beispielsweise 4-2, 5-1 oder 6-0. Für den Fall, dass er 3 Kopf 3 Zahl sieht, könnte er raten. Der Rest müsste dann nur seinen Tipp nachspielen und die Gruppe hätte somit 300 € sicher.
Doch bleibt die Frage, ob diese Strategie auch wirklich optimal ist oder es nicht noch eine bessere Strategie gibt?
Vielen Dank schon mal.
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 09.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 09.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:40 Sa 07.12.2013 | | Autor: | wieschoo |
Eine Strategie (Strategie A) unter den Annahmen ist ja
- Wähle zufällig Kopf oder Zahl
- Tippe auf das Ergebnis
Da wir kaum etwas über die Verteilung wissen, wird auch in den Knobelaufgaben meistens angenommen, dass die Gleichverteilung vorliegt. Da wir aber nichts wissen macht die Gleichverteilung auch nicht wirklich etwas kaputt.
Reverend hat natürlich Recht! Sicher ist die Wahrscheinlichkeit genau 0.5 für "Kopf" oder "Zahl".
Wenn wir aber den Blickwinkel etwas ändern und versuchen die Aufgabe zu retten, so könnte man meinen, dass vielleicht folgendes (Strategie B) effektiver ist:
- Zähle wie oft "Kopf" und wie oft "Zahl"
- Tippe auf "Kopf", falls die Anzahl von "Zahl" > Anzahl von "Kopf" ist
Mit der Begründung, dass im Mittel 3.5 mal Kopf und 3.5 mal Zahl auftritt. Selbst wenn die Zettel-Aufschriften zufällig und unabhängig jemanden an den Kopf geklebt werden, so ist es doch wahrscheinlicher, dass in einer Gruppe mindestens eine Person "Kopf" auf dem Zettel stehen hat im Vergleich zu "jeder hat 'Zahl' auf der Stirn".
Man muss ja die Gruppe betrachten und nicht die einzelnen Personen. Damit hat man die Information über die restlichen Teilnehmer verwendet.
Allgemein kann man Optimalität bei solchen Knobelaufgaben beweisen, indem man die Umstände relaxiert, d.h. man erlaubt mehr bzw. lässt einige Einschränkungen weg und zeigt, dass die Strategie B im relaxierten Problem optimal ist. Denn gäbe es eine bessere Strategie (Strategie C) im Ausgangsproblem, so wäre diese Strategie C auch besser im relaxierten Problem. Weilman bereits gezeigt hat, dass Strategie B optimal im relaxierten Problem ist, ist sie auch im Ausgangsproblem optimal.
Eine relaxierte Knobelaufgabe wäre hier, dass die Tipps nacheinander abgegeben werden und man somit weiß, was der vorherige Spieler für einen Tipp gegeben hat. Man hat mehr Information.
Wenn man jetzt zeigt, dass das die obige Strategie B optimal ist während die Kommunikation so stattfindet, dass man von allen vorherigen Spielern den Tipp sieht, so hätte man sogar einen Optimalitätsbeweis der Strategie B.
Aber die Aufgabe ist wirklich schlecht gestellt. Das es jedoch nicht verboten wurde den Zettel von der eigenen Stirn abzunehmen und darauf zu schauen, würde ich dies bevorzugen.
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Die Spieler können sich vor dem Spielbeginn eine Strategie überlegen und absprechen.
Jeder darf nur "raten", was er selber bei sich "vermutet" und dies laut sagen.
Dann kann man - je nach Glück - 6 bis 7 Richtige bekommen.
Lösung:
Es wird vereinbart, dass Kopf=1 und Zahl = 0 bedeutet.
Ein Spieler wird als Erster bestimmt. Nehmen wir an, die Verteilung ist K K Z K Z Z K. Jeder Spieler zählt nun alles zusammen, was er sieht, wobei der Erste ignoriert wird. Für die obige Kombination erhalten die entsprechenden Spieler die Zahlen
K | K Z K Z Z K
3 | 2 3 2 3 3 2
Das bedeutet: Wer eine gerade Zahl bekommt, sieht eine gerade Anzahl von K (außer beim Ersten), wer eine ungerade bekommt, sieht eine ungerade Anzahl von K.
Der erste Sieler ergänzt nun seine Zahl auf eine GERADE Zahl, indem er K (=1) ruft. In obigem Beispiel hat er nun Glück und seinen Zustand richtig "geraten".
Dadurch erfahren die anderen, ob er eine gerade oder ungerade Anzahl von K sieht. Durch Vergleich mit ihrer eigenen Summe können sie dann feststellen, was sie selber auf dem Kopf haben.
Sie zählen nun diese zuerst gerufene "Zahl" zu ihrer hinzu. Sie erhalten dann
K | K Z K Z Z K
3 | 3 4 3 4 4 3
Jetzt ergänzen sie alle ihre Zahl auf eine GERADE Zahl, indem die mit K (haben alle eine 3) K (=1) rufen und die mit Z (haben alle eine 4) Z (=0) arufen. Hier haben dann ALLE richtig geraten.
Nehmen wir an, der erste hätte Z gehabt, die anderen im selben Beispiel das selbe wie bisher, dann würden die Zahlen für alle genau so wie bisher aussehen (die anderen "übersehen" den Ersten ja), nur würde der Erste jetzt wieder K sagen und hätte damit verloren. Alle anderen würden aber wieder ihren Punkt holen.
Entsprechend würde das Spiel für eine beliebige andere Verteilung, ja sogar für eine beliebige Anzahl von Spielern verlaufen: Der erste verrät den anderen durch seinen Ausruf, ob ihre Anzahl von K gerade oder ungerade ist, wobei er für seinen eigenen Zustand eine 50:50-Chance hat, ihn zu treffen. ALLE ANDEREN können dann ihren Zustand richtig "raten".
Nehmen wir noch einmal obiges erstes Beispiel und ändern das letzte K in ein Z um:
K | K Z K Z Z Z
2 | 1 2 1 2 2 2
Der erste würde Z (=0) rufen und läge falsch. Die anderen würden wieder diese 0 hinzu addieren und dann auf eine gerade Zahl dergänzen, die K-Leute also K und die Z-Leute Z sagen. Nur der Erste läge jetzt falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Di 10.12.2013 | | Autor: | wieschoo |
Das nachfolgende ist keineswegs böse gemeint. Ich will nur verdeutlichen, dass der Grat zwischen trivial und kaum lösbar sehr schmal ist.
Das ist richtig, passt aber nicht zur Aufgabe:
| Aufgabe | | ... und dürfen den anderen keinerlei Hinweise auf ihr Ergebnis geben ... |
Wäre das erlaubt so wäre wieder die Aufgabe aber wieder trivial, da der Erste mitteilt, was er sieht und natürlich jeder daraus deterministisch und exakt berechnen kann, ob er Kopf oder Zahl auf der Stirn hat. Ich weiß nicht, ob das gewollt ist oder nicht. In diesem Fall besteht aber eine Kommunikation zwischen den Teilnehmern.
Du hast ja folgendes vor:
Hat Person [mm]k[/mm] die Aufschrift [mm]x_k\in\{0,1\}[/mm] und sind es [mm]n[/mm] Personen. So sieht die erste Person [mm]\sum_{k=2}^nx_i[/mm] und teilt dies allen anderen mit. Eine [mm]k[/mm]-te Person sieht [mm]\sum_{i\neq k}x_i[/mm]. Also weiß die [mm]k[/mm]-te Person automatisch welche Aufschrift er hat, denn
[mm]x_k = \sum_{i=1}^nx_i - \sum_{i\neq k}x_i = x_1 + \sum_{i=2}^n x_i- \sum_{i\neq k}x_i [/mm]
und das ist alles bekannt. Er benötigt ja nicht einmal die richtigen Werte, sondern braucht nur zu wissen, ob [mm]x_1 + \sum_{i=2}^n x_i- \sum_{i\neq k}x_i [/mm] gerade oder ungerade ist. Ich glaube, dass daswieder zu einfach wäre.
Nehmen wir deine Reihenfolge (Kopf=1 und Zahl = 0)
K | K Z K Z Z K
3 | 2 3 2 3 3 2
Dann teilt die erste Person ungerade mit, da sie 3 Personen mit "Kopf" auf der Stirn sieht.
Die zweite Person sieht ungerade, da sie auch 3mal "Kopf" sieht.
Jetzt ist ungerade + ungerade -ungerade = ungerade und Person 2 weiß, dass sie "Kopf" hat.
Die dritte Person sieht 4mal "Kopf" und
ungerade + gerade - ungerade = gerade, also "Zahl".
Wenn man wirklich nicht kommunizieren darf, so ist die Strategie :
- Zähle wie oft "Kopf" und wie oft "Zahl"
- Tippe auf "Kopf", falls die Anzahl von "Zahl" > Anzahl von "Kopf" ist
erlaubt.
Allerdings zeigt, dein Beitrag meine Strategie nicht unbedingt optimal sein muss, bzw. mein angegebener Ansatz die Optimalität zu begründen.
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Tatsächlich verrät der Erste ja OFFIZIELL keinem der Teilnehmer, was dieser hat, sondern er tut das, was er darf: Er sagt K oder Z.
Wenn er keine Strategie mit den anderen vorher absprechen darf, gibt es überhaupt keine Mgl., die Chancen über einen Durchschnittswert von 50 % zu erhöhen. Diese Erkenntnis ist aber so trivial, dass ich nicht weiß, warum man daraus eine Aufgabe macht. Sie ist selbst für Anfänger zu banal.
Nehmen wir noch eine andere Strategie, die aber auch vorher abgesprochen sein muss:
Der erste sagt dem zweiten das, was er bei ihm sieht. Stimmt das mit seinem Aufkleber überein, hat er Glück, sonst Pech. Der Zweite wiederholt das, was ihm der Erste sagte und holt einen Punkt. Der Dritte weiß, dass der Zweite ihm keine Information gegeben hat. Er ist wieder in der Situation des Ersten: Schaut den Vierten an und sagt ihm...
Man hätte dann durchschnittlich eine Ausbeute von 75 % (allerdings nicht bei 7 Personen, da 7 ungerade).
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