optimierungsaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Mi 23.07.2008 | | Autor: | robertl |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Methode des Weinhändlers zur Ermittlung des Preises beim Kauf eines Fasses WEIN:
Ein Weinhändler verwendete eine Messrute,steckte sie in das Spundloch S hinein,so dass ihr Ende bei Aan den Boden eines Fasses reichte,maß die Länge l =AS und setzte dann den Preis fest.
Kepler war sich bewusst,dass es zu einer festen Visierlänge l sehr viele Weinfässer mit Unterschiedlichen Volumina gibt und stellte sich die Frage,ob diese Methode vielleicht bei den österreichischen Weinfässern der damaligen Zeit betrug das Längenverhältnis etwa h:d = 7:5 .
Ersetzen sie zur Vereinfachung die in Wirklichkeit bauchigen Weinfässer ducht zylinderförmige Fässer und beantworten sie dann die folgende Frage:
bei welchem Verhältniss h:d IST bei gegebener Visierlänge l das Fassvolumen maximal?
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo leute,also die aufgabe habe ich aus einem Mathematikbuch und zwar SII Elemente der Mathematik (Gesammtband) s. 193
das Problem bei dieser Aufgabe ist,dass ich auf keinen Ansatz komme...habe zwar einige stichpunkte gesammelt komme aber auf keine funktion...
Notizen:
h:d= 7:5
um herauszufinden was h ist:
h/d =7/5 äquivalenzumformung h=7/5 d
Volumen eines Zylinders : V= [mm] pi(3.14)r^3*h
[/mm]
setze ein für h = 7/5 d in V
V= [mm] pi(3.14)r^3* [/mm] (7/5d)
zu mehr komme ich allerdings nicht ich habe auch versucht eine ´´Nebenbedingung´´ zu finden aber....
[mm] (AS)^2= d^2 +h^2
[/mm]
setze ein für h = 7/5d
[mm] (AS)^2 [/mm] = [mm] d^2 [/mm] +(7/5 [mm] d)^2
[/mm]
aber einen Sinn ergibt das nicht....
ICH hatte die Idee [mm] r^3 [/mm] durch den durchmesser zu ersetzen und dann einfach abzuleiten aber bin unsicher...
es wäre sehr freundlich wenn mir jemand entgegenkommen würde und mir bei der Aufgabe behilflich ist..
schon mal vielen dank robert
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Mi 23.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Fangen wir mal "von hinten" an.
Du suchst das Volumen des Zylinders, in Abhängigkeit von h und d. (und am Ende auch der "Lanzenlänge" l).
Fangen wir mal mit dem Volumen an.
Es gilt:
[mm] V_{zyl}=\pi*r²*h
[/mm]
[mm] =\pi*\left(\bruch{1}{2}d\right)^{2}*h
[/mm]
[mm] =\bruch{\pi*d²*h}{4}
[/mm]
Wenn ich die Aufgabe jetzt richtig interpretiere, liegt der Zylinder auf der Seite, und ich steche die Lanze in das mittig an der Seite liegende Spundloch, bis ich den Bodenmittelpunkt erreiche, ist das korrekt?
Wenn nicht, füge bitte mal eine Zeichnung ein.
Diese Länge nenne wir nun l. Dann gilt, nach dem Satz des Pythagoras: [mm] l²=\left(\bruch{1}{2}d\right)^{2}+\left(\bruch{1}{2}h\right)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw l²=\bruch{d²}{4}+\bruch{h²}{4}
[/mm]
[mm] \gdw 4l^{2}=d²+h²
[/mm]
[mm] \gdw d²=4l²-h^{2}
[/mm]
Dieses setze nun mal für d² in die Volumenformel ein:
Also: [mm] V=\bruch{\pi*(4l²-h²)*h}{4}
[/mm]
[mm] =\bruch{4*\pi*l²*h²-\pi*h³}{4}
[/mm]
[mm] =4\pi*l²*h²-\bruch{\pi*h³}{4}
[/mm]
Und jetzt bestimme hiervon mal das Maximum, und dann den zugehörigen Durchmesser des Fasses, und damit dann das "Maximalvolumige Verhältnis" [mm] \bruch{h}{d}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:34 Do 24.07.2008 | | Autor: | robertl |
danke...aber ich versteh jetzt nur nicht wieso du beim satz des pythagoras 1/2 h genommen hasst..und ne zeichnung würd ich gerne beifügen...allerdings weiss ich nicht wie das hier funktioniert...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:31 Do 24.07.2008 | | Autor: | robertl |
AUF DIESEm Link
IST EINe Skizze http://www.datei-upload.eu/file.php?id=e9551c1572d0dfe254f991a103a50da9
ich habe bei dem Satz des Pythagoras statt 1/2 d nur d eingesetzt und dan äquivalent umgeformt,da ich nicht versteh wieso 1/2 d
und kamm dan durch äquivalenzumformung auf [mm] d^2= l^2- (1/4)h^2
[/mm]
habe dies dan ich Vzyl eingesetzt:
V= pi * 1/4 [mm] *(l^2-(1/4)h^2)*h [/mm]
= pi * [mm] 1/4l^2-1/8h^2*h
[/mm]
=pi * 1/4 [mm] l^2-1/8h^3
[/mm]
das ist dan meine Zielfunktion? hab das gefühl das irgendwas falsch ist...
und nach was ich nun ableiten soll um das Maximum zu bestimmen und mit dem Verhältniss h:d = 7:5 komme ich einfach nicht klar...
ist es möglich mir anhand der zeichnung nun es genauer zu erläutern?
danke
die skizze:
http://www.datei-upload.eu/file.php?id=e9551c1572d0dfe254f991a103a50da9
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Do 24.07.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo robertl,
> AUF DIESEm Link
> IST EINe Skizze
> http://www.datei-upload.eu/file.php?id=e9551c1572d0dfe254f991a103a50da9
>
> ich habe bei dem Satz des Pythagoras statt 1/2 d nur
> d eingesetzt und dan äquivalent umgeformt,da ich nicht
> versteh wieso 1/2 d
Nach Deiner Zeichnung ist das auch korrekt.
> und kamm dan durch äquivalenzumformung auf [mm]d^2= l^2- (1/4)h^2[/mm]
>
> habe dies dan ich Vzyl eingesetzt:
> V= pi * 1/4 [mm]*(l^2-(1/4)h^2)*h[/mm]
> = pi * [mm]1/4l^2-1/8h^2*h[/mm]
Hier stimmt die Umformung nicht:
$ V = [mm] \pi \cdot (\bruch{l^2}{4} [/mm] h - [mm] \bruch{1}{16} h^3) [/mm] $
oder einfacher
$ V = [mm] \pi \cdot \bruch{1}{4} \cdot (l^2 [/mm] h - [mm] \bruch{1}{4} h^3) [/mm] $
> =pi * 1/4 [mm]l^2-1/8h^3[/mm]
> das ist dan meine Zielfunktion? hab das gefühl das
> irgendwas falsch ist...
> und nach was ich nun ableiten soll um das Maximum zu
> bestimmen und mit dem Verhältniss h:d = 7:5 komme ich
> einfach nicht klar...
Du leitest jetzt nach h ab, berechnest das h, für das V maximal ist, und berechnest dann das zugehörige d. Dann berechnest Du für Deine Werte das Verhältnis h:d. Der Wert 7:5 geht bei Deiner Rechnung nicht ein. Es ist der für die damaligen Fässer in Österreich angenommene Wert, dient für Dich also höchstens als Vergleichswert.
Gruß
Sigrid
> ist es möglich mir anhand der zeichnung nun es genauer zu
> erläutern?
> danke
>
> die skizze:
>
> http://www.datei-upload.eu/file.php?id=e9551c1572d0dfe254f991a103a50da9
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 So 27.07.2008 | | Autor: | robertl |
hy cool danke ich hab die augabe denke ich mal gelöst und habe
raus, dass das volumen bei h=d maximal ist!
müsste richtig sein.
den Lösungsweg schreibe ich auch noch hin ,dem nächst...
|
|
|
|
