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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Do 28.05.2009 | | Autor: | blink23 |
| Aufgabe | Seien G Gruppe und a,b [mm] \in [/mm] G mit ab=ba. Es seien [mm] n=ord(a)<\infty [/mm] und [mm] m=ord(b)<\infty. [/mm] Zeigen Sie:
(i) [mm] ord(a^{m})=\bruch{ord(ab)}{ggT(ord(ab),m)}
[/mm]
(ii) [mm] \bruch{nm}{ggT(m,n)^2}|ord(ab)|kgV(n,m)
[/mm]
(iii) ggT(n,m)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] ord(ab)=mn. |
(iii) ist mir klar, wegen (ii) und der tatsache, dass ggT(m,n)=1.
könnte mir wer einen hinweis zu (i) und (ii) geben? ich hab leider keine ahnung wo ich beginnen soll.
danke schon mal :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:19 Di 02.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien G Gruppe und a,b [mm]\in[/mm] G mit ab=ba. Es seien
> [mm]n=ord(a)<\infty[/mm] und [mm]m=ord(b)<\infty.[/mm] Zeigen Sie:
> (i) [mm]ord(a^{m})=\bruch{ord(ab)}{ggT(ord(ab),m)}[/mm]
> (ii) [mm]\bruch{nm}{ggT(m,n)^2}|ord(ab)|kgV(n,m)[/mm]
> (iii) ggT(n,m)=1 [mm]\Rightarrow[/mm] ord(ab)=mn.
>
> (iii) ist mir klar, wegen (ii) und der tatsache, dass
> ggT(m,n)=1.
Genau.
> könnte mir wer einen hinweis zu (i) und (ii) geben? ich hab
> leider keine ahnung wo ich beginnen soll.
Zu (i): beachte, dass [mm] $a^m [/mm] = (a [mm] b)^m$ [/mm] ist. Hast du jetzt fuer ein beliebiges Element $x$ eine Aussage ueber die Ordnung von [mm] $x^t$ [/mm] fuer ein $t [mm] \in \IN$?
[/mm]
Zu (ii): beachte, dass $(a [mm] b)^t [/mm] = [mm] a^t b^t$ [/mm] ist. Daraus bekommst du $(a [mm] b)^{kgV(n,m)} [/mm] = 1$, also die zweite Teilbarkeit. Fuer die erste Teilbarkeit setze $n' := [mm] \frac{n}{ggT(n, m)}$ [/mm] und $m' := [mm] \frac{m}{ggT(n, m)}$. [/mm] Dann sind $n', m'$ teilerfremd und es gilt $n' m' = [mm] \frac{n m}{ggT(n, m)^2}$. [/mm] Es reicht also zu zeigen, dass sowohl $n'$ wie auch $m'$ ein Teiler von $ord(a b)$ ist.
Nun ist nach (i) [mm] $ord(a^m) [/mm] = [mm] \frac{ord(a b)}{ggT(ord(a b), m)}$, [/mm] jedoch auch [mm] $ord(a^m) [/mm] = [mm] \frac{ord(a)}{ggT(ord(a), m)} [/mm] = [mm] \frac{n}{ggT(n, m)}$, [/mm] womit [mm] $\frac{n}{ggT(n, m)} \cdot [/mm] ggT(ord(a b), m) = ord(a b)$ gilt. Aber das bedeutet ja gerade $n' [mm] \mid [/mm] ord(a b)$.
Fuer $m' [mm] \mid [/mm] ord(a, b)$ kannst du genauso vorgehen, indem du $a$ und $b$ vertauscht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 Mi 03.06.2009 | | Autor: | blink23 |
ad (ii): ok, [mm] a^{m} [/mm] = [mm] (ab)^{m}. [/mm] nun kann ist aber [mm] ord(a^{m}) [/mm] = [mm] ord((ab)^{m}). [/mm] aus der vorlesung kenn ich folgenden satz:
[für x [mm] \in [/mm] G sei ord(x) = n [mm] \in \IN^{+}, [/mm] dann gilt [mm] \forall [/mm] t [mm] \in \IZ:
[/mm]
[mm] ord(x^{t}) [/mm] = [mm] \bruch{n}{ggT(t,n}]
[/mm]
also gilt: [mm] ord(a^{m})=ord((ab)^{m})= \bruch{ord(ab)}{ggT(ord(ab),m)}
[/mm]
von der gestalt her passte mir der satz schon, aber die anwendung war mir nicht genau bewusst.
ad (ii): eigentlich ist das nur spielerei mit der teilbarkeit und geschicktes definieren. darauf muss man auch mal kommen.
dankeschön felix^^
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